Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12325
2019-12-31 
Цилиндрический бак наполнен доверху жидкостью плотности $\rho$. Сверху бак плотно закрыт крышкой радиуса $R$. Снизу в баке имеется отверстие площади $S$. закрытое пробкой массы $m$ (см. рисунок). Чтобы вытащить пробку из бака, нужно приложить силу $f$. С какой максимальной угловой скоростью можно вращать бак вокруг вертикальной оси так, чтобы пробка не вылетала?
Решение:
Давление в жидкости во вращающемся баке на одной и той же глубине будет разным в центре сосуда и у стенок - давление нарастает по мере удаления от центра. Найдем, насколько отличается давление у стенок от давления в центре.
Выделим мысленно тонкий горизонтальный столбик жидкости с площадью поперечного сечения $\sigma$ (см. рисунок). Центр масс этого столбика движется по окружности радиуса $R/2$. Запишем уравнение движения столбика:
$\rho R \sigma \omega^{2} \frac{R}{2} = \Delta p \sigma$
($\rho R \sigma$ - масса столбика, $\Delta p \sigma$ - результирующая сил давления, действующих на столбик справа и слева). Таким образом, давление в жидкости у стенки больше давления в центре на величину
$\Delta p = \frac{1}{2} \rho \omega^{2}R^{2}$.
Поэтому сила, действующая на пробку со стороны жидкости, равна
$F = s \left ( p_{0} + \rho gH + \frac{1}{2} \rho \omega^{2}R^{2} \right )$,
где $p_{0}$ - атмосферное давление, $H$ - высота бака. Запишем уравнение движения пробки:
$m \omega^{2}R = p_{0}s + F_{тр} - s \left ( p_{0} + \rho gH + \frac{1}{2} \rho \omega^{2}R^{2} \right )$.
Как следует из условия, пробка вылетает из бака при $F_{тр} = f + s \rho gH$. Учитывай это, найдем угловую скорость вращения, при которой пробка вылетит:
$\omega = \sqrt{ \frac{f}{mR + \frac{1}{2} s \rho R^{2} } }$.
Цилиндрический бак наполнен доверху жидкостью плотности $\rho$. Сверху бак плотно закрыт крышкой радиуса $R$. Снизу в баке имеется отверстие площади $S$. закрытое пробкой массы $m$ (см. рисунок). Чтобы вытащить пробку из бака, нужно приложить силу $f$. С какой максимальной угловой скоростью можно вращать бак вокруг вертикальной оси так, чтобы пробка не вылетала?
Решение:
Давление в жидкости во вращающемся баке на одной и той же глубине будет разным в центре сосуда и у стенок - давление нарастает по мере удаления от центра. Найдем, насколько отличается давление у стенок от давления в центре.
Выделим мысленно тонкий горизонтальный столбик жидкости с площадью поперечного сечения $\sigma$ (см. рисунок). Центр масс этого столбика движется по окружности радиуса $R/2$. Запишем уравнение движения столбика:
$\rho R \sigma \omega^{2} \frac{R}{2} = \Delta p \sigma$
($\rho R \sigma$ - масса столбика, $\Delta p \sigma$ - результирующая сил давления, действующих на столбик справа и слева). Таким образом, давление в жидкости у стенки больше давления в центре на величину
$\Delta p = \frac{1}{2} \rho \omega^{2}R^{2}$.
Поэтому сила, действующая на пробку со стороны жидкости, равна
$F = s \left ( p_{0} + \rho gH + \frac{1}{2} \rho \omega^{2}R^{2} \right )$,
где $p_{0}$ - атмосферное давление, $H$ - высота бака. Запишем уравнение движения пробки:
$m \omega^{2}R = p_{0}s + F_{тр} - s \left ( p_{0} + \rho gH + \frac{1}{2} \rho \omega^{2}R^{2} \right )$.
Как следует из условия, пробка вылетает из бака при $F_{тр} = f + s \rho gH$. Учитывай это, найдем угловую скорость вращения, при которой пробка вылетит:
$\omega = \sqrt{ \frac{f}{mR + \frac{1}{2} s \rho R^{2} } }$.
