Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12322
2019-12-31 
Две одинаковые звезды А и В вращаются под действием взаимного притяжения на неизменном расстоянии $R$ друг от друга. На некотором неизвестном расстоянии $x$ от звезд в плоскости их орбит движется легкая планета С, причем $| AC | = | BC | = x$, а треугольник $ABC$ сохраняет свои размеры. Найти расстояние $x$.
Решение:
Звезды А и В вращаются вокруг их центра масс, который находится в середине отрезка АВ (в точке О). Центростремительное ускорение звездам сообщают силы их взаимного притяжения друг к другу:
$M \frac{R}{2} \omega^{2} = G \frac{M^{2} }{R^{2} }$.
Отсюда угловая скорость вращения звезд равна
$\omega = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{2GM}{R} }$.
По условию задачи треугольник АВС, в вершинах которого находятся звезды и планета, сохраняет свои размеры. Это возможно в том случае, когда планета движется по окружности с центром в точке О (см рисунок) с угловой скоростью $\omega$. Центростремительное ускорение планете сообщают силы притяжения ее к звездам:
$m \vec{a}_{ц} = \vec{F}_{A} + \vec{F}_{B}$,
где $| \vec{F}_{A} | = | \vec{F}_{B} | = G \frac{mM}{x^{2} }$. Как видно из рисунка,
$| \vec{F} | = | \vec{F}_{A} + \vec{F}_{B} | = 2 | \vec{F}_{A} | \cos \alpha = 2 | \vec{F}_{A} | \frac{|CO|}{x} = 2G \frac{mM}{x^{3} } |CO|$.
Таким образом
$m \omega^{2} |CO| = 2G \frac{mM}{x^{3} } |CO|$, или $m \frac{2GM}{R^{3} } |CO| = m \frac{2GM}{x^{3} } |CO|$.
Это равенство выполняется либо при $|CO| = 0$, либо при $x = R$. В первом случае планета находится в центре масс звезд - в точке О (треугольник АВС "вырождается" в отрезок АВ). Во втором случае планета находится в вершине равностороннего треугольника (точка $C$ или $C^{ \prime}$ на рисунке), в двух других вершинах которого находятся звезды.
Замечательно, что и при различных массах звезд А и В "положениями равновесия" окажутся вершины $C$ или $C^{ \prime}$ равностороннего треугольника (этот факт вы можете проверить самостоятельно; но выкладки будут достаточно громоздкими).
Две одинаковые звезды А и В вращаются под действием взаимного притяжения на неизменном расстоянии $R$ друг от друга. На некотором неизвестном расстоянии $x$ от звезд в плоскости их орбит движется легкая планета С, причем $| AC | = | BC | = x$, а треугольник $ABC$ сохраняет свои размеры. Найти расстояние $x$.
Решение:
Звезды А и В вращаются вокруг их центра масс, который находится в середине отрезка АВ (в точке О). Центростремительное ускорение звездам сообщают силы их взаимного притяжения друг к другу:
$M \frac{R}{2} \omega^{2} = G \frac{M^{2} }{R^{2} }$.
Отсюда угловая скорость вращения звезд равна
$\omega = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{2GM}{R} }$.
По условию задачи треугольник АВС, в вершинах которого находятся звезды и планета, сохраняет свои размеры. Это возможно в том случае, когда планета движется по окружности с центром в точке О (см рисунок) с угловой скоростью $\omega$. Центростремительное ускорение планете сообщают силы притяжения ее к звездам:
$m \vec{a}_{ц} = \vec{F}_{A} + \vec{F}_{B}$,
где $| \vec{F}_{A} | = | \vec{F}_{B} | = G \frac{mM}{x^{2} }$. Как видно из рисунка,
$| \vec{F} | = | \vec{F}_{A} + \vec{F}_{B} | = 2 | \vec{F}_{A} | \cos \alpha = 2 | \vec{F}_{A} | \frac{|CO|}{x} = 2G \frac{mM}{x^{3} } |CO|$.
Таким образом
$m \omega^{2} |CO| = 2G \frac{mM}{x^{3} } |CO|$, или $m \frac{2GM}{R^{3} } |CO| = m \frac{2GM}{x^{3} } |CO|$.
Это равенство выполняется либо при $|CO| = 0$, либо при $x = R$. В первом случае планета находится в центре масс звезд - в точке О (треугольник АВС "вырождается" в отрезок АВ). Во втором случае планета находится в вершине равностороннего треугольника (точка $C$ или $C^{ \prime}$ на рисунке), в двух других вершинах которого находятся звезды.
Замечательно, что и при различных массах звезд А и В "положениями равновесия" окажутся вершины $C$ или $C^{ \prime}$ равностороннего треугольника (этот факт вы можете проверить самостоятельно; но выкладки будут достаточно громоздкими).
