Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1232
2016-10-20 
Непроводящая сфера радиусом $R$ состоит из двух скреплённых полусфер, которые равномерно покрыты зарядами с поверхностными плотностями $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ соответственно. Сферу окружают проводящей заземлённой оболочкой, радиус которой близок к радиусу сферы. Найдите суммарную силу, действующую на сферу со стороны электростатического поля. Краевыми эффектами вблизи линии соединения полусфер пренебречь. Изменится ли эта сила, если оболочка будет не заземлённой, а изолированной?
Решение:
Так как потенциал заземлённой проводящей оболочки равен нулю, то поле в пространстве вне оболочки отсутствует. Поэтому поверхностная плотность заряда одной половины оболочки, находящейся вблизи первой полусферы, равна $- \sigma_{1}$, а поверхностная плотность заряда другой половины оболочки, находящейся вблизи второй полусферы, равна $- \sigma_{2}$. Следовательно, каждая из полусфер является обкладкой конденсатора, причём роль второй обкладки для неё играет соответствующая половина оболочки. Так как радиус оболочки близок к радиусу сферы, то поля в зазорах между полусферами и половинами оболочки можно считать однородными, а два получившихся конденсатора — плоскими.
Рассмотрим первый конденсатор. Напряжённость поля внутри него равна $E = \sigma_{1}/ \epsilon_{0}$, а сила притяжения, действующая на единицу площади обкладки, составляет $f = \sigma_{1} \cdot \frac{E}{2} = \frac{ \sigma_{1}^[2]}{2 \epsilon_{0}}$. Величина $f$ имеет смысл давления электростатического поля на поверхность заряженной полусферы. Поэтому полная сила, действующая на полусферу со стороны соответствующей половины оболочки, равна $F_{1} = fS = \frac{ \pi R^{2} \sigma_{1}^{2}}{2 \epsilon_{0}}$, где $S = \pi R^{2}$ — площадь основания полусферы (аналогичный подход используется также в решении задачи 1207). Сила $\vec{F}_{1}$, очевидно, направлена в сторону оболочки перпендикулярно плоскости, разделяющей полусферы. Сила $\vec{F}_{2}$, действующая со стороны оболочки на вторую полусферу, может быть найдена при помощи аналогичных рассуждений: она равна по величине $F_{2} = \frac{ \pi R^{2} \sigma_{2}^{2}}{2 \epsilon_{0}}$ и направлена противоположно силе $\vec{F}_{1}$. Таким образом, суммарная сила электростатического происхождения, действующая на сферу, равна по величине
$F = |\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}| = \frac{ \pi R^{2}}{2 \epsilon_{0}} \cdot | \sigma_{2}^{2} - \sigma_{1}^{2}|$
и направлена перпендикулярно плоскости, разделяющей полусферы, в сторону полусферы с большей плотностью заряда.
Если рассматриваемая оболочка будет изолированной, то, поскольку внутри металла электростатическое поле равно нулю, заряды на её внутренней поверхности будут такими же, как в случае заземлённой оболочки. Поэтому суммарная сила $F$, действующая на внутреннюю сферу, не изменится. При этом на внешней поверхности оболочки появится заряд, равный по величине и противоположный по знаку заряду на внутренней поверхности оболочки, и в пространстве вне оболочки появится электрическое поле. Но, поскольку области пространства внутри и вне проводящей оболочки независимы друг от друга в смысле происходящих в них электрических явлений, то наличие поля снаружи от оболочки никак не будет влиять на поле внутри неё.
Непроводящая сфера радиусом $R$ состоит из двух скреплённых полусфер, которые равномерно покрыты зарядами с поверхностными плотностями $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ соответственно. Сферу окружают проводящей заземлённой оболочкой, радиус которой близок к радиусу сферы. Найдите суммарную силу, действующую на сферу со стороны электростатического поля. Краевыми эффектами вблизи линии соединения полусфер пренебречь. Изменится ли эта сила, если оболочка будет не заземлённой, а изолированной?
Решение:
Так как потенциал заземлённой проводящей оболочки равен нулю, то поле в пространстве вне оболочки отсутствует. Поэтому поверхностная плотность заряда одной половины оболочки, находящейся вблизи первой полусферы, равна $- \sigma_{1}$, а поверхностная плотность заряда другой половины оболочки, находящейся вблизи второй полусферы, равна $- \sigma_{2}$. Следовательно, каждая из полусфер является обкладкой конденсатора, причём роль второй обкладки для неё играет соответствующая половина оболочки. Так как радиус оболочки близок к радиусу сферы, то поля в зазорах между полусферами и половинами оболочки можно считать однородными, а два получившихся конденсатора — плоскими.
Рассмотрим первый конденсатор. Напряжённость поля внутри него равна $E = \sigma_{1}/ \epsilon_{0}$, а сила притяжения, действующая на единицу площади обкладки, составляет $f = \sigma_{1} \cdot \frac{E}{2} = \frac{ \sigma_{1}^[2]}{2 \epsilon_{0}}$. Величина $f$ имеет смысл давления электростатического поля на поверхность заряженной полусферы. Поэтому полная сила, действующая на полусферу со стороны соответствующей половины оболочки, равна $F_{1} = fS = \frac{ \pi R^{2} \sigma_{1}^{2}}{2 \epsilon_{0}}$, где $S = \pi R^{2}$ — площадь основания полусферы (аналогичный подход используется также в решении задачи 1207). Сила $\vec{F}_{1}$, очевидно, направлена в сторону оболочки перпендикулярно плоскости, разделяющей полусферы. Сила $\vec{F}_{2}$, действующая со стороны оболочки на вторую полусферу, может быть найдена при помощи аналогичных рассуждений: она равна по величине $F_{2} = \frac{ \pi R^{2} \sigma_{2}^{2}}{2 \epsilon_{0}}$ и направлена противоположно силе $\vec{F}_{1}$. Таким образом, суммарная сила электростатического происхождения, действующая на сферу, равна по величине
$F = |\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}| = \frac{ \pi R^{2}}{2 \epsilon_{0}} \cdot | \sigma_{2}^{2} - \sigma_{1}^{2}|$
и направлена перпендикулярно плоскости, разделяющей полусферы, в сторону полусферы с большей плотностью заряда.
Если рассматриваемая оболочка будет изолированной, то, поскольку внутри металла электростатическое поле равно нулю, заряды на её внутренней поверхности будут такими же, как в случае заземлённой оболочки. Поэтому суммарная сила $F$, действующая на внутреннюю сферу, не изменится. При этом на внешней поверхности оболочки появится заряд, равный по величине и противоположный по знаку заряду на внутренней поверхности оболочки, и в пространстве вне оболочки появится электрическое поле. Но, поскольку области пространства внутри и вне проводящей оболочки независимы друг от друга в смысле происходящих в них электрических явлений, то наличие поля снаружи от оболочки никак не будет влиять на поле внутри неё.
