Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12317
2019-12-31 
Вода течет по длинному каналу с прямоугольным сечением, наклоненному к горизонту. Можно считать, что сила трения воды о дно и берега канала пропорциональна средней скорости потока и обратно пропорцианальна его глубине. Во время паводка количество воды, протекающей через сечение канала за одну секунду, увеличивается вдвое. Как меняется при этом средняя скорость потока?
Решение:
При установившемся течении воды глубина $H$ оказывается одной н той же вдоль всего канала. В результате действия сил трения скорости течения на разных глубинах оказываются разными - слои жидкости скользят один по другому и скорость течения возрастает от почти нулевой вблизи дна до наибольшей у поверхности. При этом любой выделенный объем жидкости движется с некоторой постоянной средней скоростью. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на такой объем, равна нулю.
Запишем это условие (II закон Ньютона) дли выделенного ии рисунке объема ABCD. Действующие на него силы это сила тяжести $F_{т} = \rho gabh$ ($b$ - ширина потока), сила давления атмосферного воздуха $F_{a} = p_{0}ab$ ($p_{0}$ - атмосферное давление), сила давления лежащих ниже слоев воды $F_{н} = p_{h} ab$ ($p_{h}$ - давление на "глубине" $h$), Силы давления $F_{л}$ и $F_{п}$ со стороны воды слева (выше по течению) и справа (ниже по течению) и сила трения о прилежащий слой волы на глубине $h$. Запишем II закон Ньютоне в проекциях на ось Y (см. рисунок):
$p_{0}ab + \rho g abh \cos \alpha - pab = 0$.
Из этого уравнения видно, что давление $p$ в потоке определяется только "глубиной" $h$.
Теперь запишем условие постоянства средней скорости для выделенного на рисунке объема MBCN. В проекциях па ось X имеем:
$\rho gabH \sin \alpha - k \frac{v}{H} = 0$. (*)
Здесь $\rho gab H$ - сила тяжести, $v$ - средняя скорость течении, $\frac{kv}{H}$ - сила трепня ($k = const$). (Силы давления со стороны воды слепа и справа взаимно компенсируются, и поэтому мы не включили их в уравнение). Глубину $H$ выразим через количество $Q$ воды, протекающей через сечение канала за единицу времени: $Q = Hbv \Rightarrow H = \frac{Q}{bv}$. Подставим это выражение в (*) и найдем $v$:
$v = \left ( \frac{ \rho ga \sin \alpha }{kb} \right )^{1/3} Q^{2/3}$.
Отсюда видно, что при увеличении $Q$ в 2 раза средняя скорость течения возрастает в $\sqrt[3]{4} \approx 1,6$ раза. Глубина потока возрастает при этом в $\sqrt[3]{2} \approx 1,2$ раза.
Вода течет по длинному каналу с прямоугольным сечением, наклоненному к горизонту. Можно считать, что сила трения воды о дно и берега канала пропорциональна средней скорости потока и обратно пропорцианальна его глубине. Во время паводка количество воды, протекающей через сечение канала за одну секунду, увеличивается вдвое. Как меняется при этом средняя скорость потока?
Решение:
При установившемся течении воды глубина $H$ оказывается одной н той же вдоль всего канала. В результате действия сил трения скорости течения на разных глубинах оказываются разными - слои жидкости скользят один по другому и скорость течения возрастает от почти нулевой вблизи дна до наибольшей у поверхности. При этом любой выделенный объем жидкости движется с некоторой постоянной средней скоростью. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на такой объем, равна нулю.
Запишем это условие (II закон Ньютона) дли выделенного ии рисунке объема ABCD. Действующие на него силы это сила тяжести $F_{т} = \rho gabh$ ($b$ - ширина потока), сила давления атмосферного воздуха $F_{a} = p_{0}ab$ ($p_{0}$ - атмосферное давление), сила давления лежащих ниже слоев воды $F_{н} = p_{h} ab$ ($p_{h}$ - давление на "глубине" $h$), Силы давления $F_{л}$ и $F_{п}$ со стороны воды слева (выше по течению) и справа (ниже по течению) и сила трения о прилежащий слой волы на глубине $h$. Запишем II закон Ньютоне в проекциях на ось Y (см. рисунок):
$p_{0}ab + \rho g abh \cos \alpha - pab = 0$.
Из этого уравнения видно, что давление $p$ в потоке определяется только "глубиной" $h$.
Теперь запишем условие постоянства средней скорости для выделенного на рисунке объема MBCN. В проекциях па ось X имеем:
$\rho gabH \sin \alpha - k \frac{v}{H} = 0$. (*)
Здесь $\rho gab H$ - сила тяжести, $v$ - средняя скорость течении, $\frac{kv}{H}$ - сила трепня ($k = const$). (Силы давления со стороны воды слепа и справа взаимно компенсируются, и поэтому мы не включили их в уравнение). Глубину $H$ выразим через количество $Q$ воды, протекающей через сечение канала за единицу времени: $Q = Hbv \Rightarrow H = \frac{Q}{bv}$. Подставим это выражение в (*) и найдем $v$:
$v = \left ( \frac{ \rho ga \sin \alpha }{kb} \right )^{1/3} Q^{2/3}$.
Отсюда видно, что при увеличении $Q$ в 2 раза средняя скорость течения возрастает в $\sqrt[3]{4} \approx 1,6$ раза. Глубина потока возрастает при этом в $\sqrt[3]{2} \approx 1,2$ раза.
