Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12314
2019-12-31 
Выточенную на токарном станке фигуру с плоским основанием поставили на дно сосуда и начали наливать в сосуд воду. На рисунке приведен график зависимости силы $F$, с которой фигура давит на дно, от высоты $H$ уровня воды в сосуде (вода под фигуру не подтекает). Определите по графику площадь основания фигуры, ее объем и плотность материала, из которого она сделана. Нарисуйте (приближенно) эту фигуру. На какой высоте площадь горизонтального сечения фигуры равна площади ее основания?
Решение:
Пусть при высоте $H$ уровня воды о сосуде объем погруженной в воду части фигуры равен $V$. Сила, действующая на фигуру со стороны воды, равна
$f = \rho_{в}gH - \rho_{в}gHS_{0}$,
где $S_{0}$ - площадь основания фигуры. Запишем условие равновесия фигуры:
$F^{ \prime}(H) - Mg + \rho_{в}gV - \rho_{в}gV - \rho_{в}gHS_{0} = 0$.
где $M$ - масса фигуры, $F^{ \prime} (H)$ - абсолютное значение силы нормальной реакции со стороны дна сосуда при данном уровне воды в сосуде. Согласно III закону Ньютона, $F^{ \prime} (H) = F(H)$: следовательно.
$F(H) = Mg - \rho_{в}gV + \rho_{в}gHS_{0}$.
Ясно, что после того как фигура будет полностью покрыта водой, график станет линейным. По этому участку графика определим $S_{0}$ (выберем точки $H_{1} = 4 см$ и $H_{2} = 5 см$):
$S_{0} = \frac{1}{ \rho_{в}g } \frac{ \Delta F}{ \Delta H} = \frac{1}{10^{3} \cdot 9,8 } \frac{0,1}{0,01} м^{2} \approx 10^{-3} м^{2}$.
Теперь можно определить объем фмгуры:
$V_{0} = \frac{Mg - F(H) + \rho_{в}gHS_{0} }{ \rho_{в}g } = \frac{F(0) - F(H) + \rho_{в}gHS_{0} }{ \rho_{в}g }$
(мы учли, что при $H = 0$ $F(0) = Mg$). Взяв точку, лежащую на линейном участке графика, - например, точку, соответствующую $H_{2} = 5 см$, - найдем:
$V_{0} \approx \frac{0,25 - 0,4 + 10^{3} \cdot 9,8 \cdot 0,05 \cdot 10^{-3}}{10^{3} \cdot 9,8 } \approx 3,5 \cdot 10^{-5} м^{3}$.
Плотность материала, из которого сделана фигура, равна
$\rho = \frac{M}{V_{0} } = \frac{F(0)}{gV_{0} } \approx 7 \cdot 10^{2} кг/м^{3}$.
Для исследования формы фигуры найдем малое приращение силы $\Delta F$, обусловленное малым приращением высоты $\Delta H$ уровня воды:
$\Delta F= - \rho_{в} g \Delta V + \rho_{в}g S_{0} \Delta H = \rho_{в} п(S_{0} - S(H)) \Delta H$
(мы учли, что малое приращение объема равно $\Delta V = S(H) \Delta H$). Отсюда видно, что там, где $F$ растет с ростом $H ( \Delta F > 0), S(H) < S_{0}$; и наоборот, при $\Delta F < 0$ $S(H) > S_{0}$. В точках кривой, которые соответствуют площадям сечения, равным $S_{0}$. $\Delta F = 0$, то есть в этих точках касательная к кривой горизонтальна. Это условие выполняется в точках $H_{3} \approx 1,7 см$ и $H_{4} \approx 2,2 см$ и около основания фигуры. (Читатели, знакомые с дифференцированием, могут произвести более подробный анализ формы фигуры, взяв первую и вторую производные функции $F(H)$.)
На рисунке изображена (приближенно) эта фигура.
Выточенную на токарном станке фигуру с плоским основанием поставили на дно сосуда и начали наливать в сосуд воду. На рисунке приведен график зависимости силы $F$, с которой фигура давит на дно, от высоты $H$ уровня воды в сосуде (вода под фигуру не подтекает). Определите по графику площадь основания фигуры, ее объем и плотность материала, из которого она сделана. Нарисуйте (приближенно) эту фигуру. На какой высоте площадь горизонтального сечения фигуры равна площади ее основания?
Решение:
Пусть при высоте $H$ уровня воды о сосуде объем погруженной в воду части фигуры равен $V$. Сила, действующая на фигуру со стороны воды, равна
$f = \rho_{в}gH - \rho_{в}gHS_{0}$,
где $S_{0}$ - площадь основания фигуры. Запишем условие равновесия фигуры:
$F^{ \prime}(H) - Mg + \rho_{в}gV - \rho_{в}gV - \rho_{в}gHS_{0} = 0$.
где $M$ - масса фигуры, $F^{ \prime} (H)$ - абсолютное значение силы нормальной реакции со стороны дна сосуда при данном уровне воды в сосуде. Согласно III закону Ньютона, $F^{ \prime} (H) = F(H)$: следовательно.
$F(H) = Mg - \rho_{в}gV + \rho_{в}gHS_{0}$.
Ясно, что после того как фигура будет полностью покрыта водой, график станет линейным. По этому участку графика определим $S_{0}$ (выберем точки $H_{1} = 4 см$ и $H_{2} = 5 см$):
$S_{0} = \frac{1}{ \rho_{в}g } \frac{ \Delta F}{ \Delta H} = \frac{1}{10^{3} \cdot 9,8 } \frac{0,1}{0,01} м^{2} \approx 10^{-3} м^{2}$.
Теперь можно определить объем фмгуры:
$V_{0} = \frac{Mg - F(H) + \rho_{в}gHS_{0} }{ \rho_{в}g } = \frac{F(0) - F(H) + \rho_{в}gHS_{0} }{ \rho_{в}g }$
(мы учли, что при $H = 0$ $F(0) = Mg$). Взяв точку, лежащую на линейном участке графика, - например, точку, соответствующую $H_{2} = 5 см$, - найдем:
$V_{0} \approx \frac{0,25 - 0,4 + 10^{3} \cdot 9,8 \cdot 0,05 \cdot 10^{-3}}{10^{3} \cdot 9,8 } \approx 3,5 \cdot 10^{-5} м^{3}$.
Плотность материала, из которого сделана фигура, равна
$\rho = \frac{M}{V_{0} } = \frac{F(0)}{gV_{0} } \approx 7 \cdot 10^{2} кг/м^{3}$.
Для исследования формы фигуры найдем малое приращение силы $\Delta F$, обусловленное малым приращением высоты $\Delta H$ уровня воды:
$\Delta F= - \rho_{в} g \Delta V + \rho_{в}g S_{0} \Delta H = \rho_{в} п(S_{0} - S(H)) \Delta H$
(мы учли, что малое приращение объема равно $\Delta V = S(H) \Delta H$). Отсюда видно, что там, где $F$ растет с ростом $H ( \Delta F > 0), S(H) < S_{0}$; и наоборот, при $\Delta F < 0$ $S(H) > S_{0}$. В точках кривой, которые соответствуют площадям сечения, равным $S_{0}$. $\Delta F = 0$, то есть в этих точках касательная к кривой горизонтальна. Это условие выполняется в точках $H_{3} \approx 1,7 см$ и $H_{4} \approx 2,2 см$ и около основания фигуры. (Читатели, знакомые с дифференцированием, могут произвести более подробный анализ формы фигуры, взяв первую и вторую производные функции $F(H)$.)
На рисунке изображена (приближенно) эта фигура.
