Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12313
2019-12-31 
В неидиальном одноатомном газе между молекулами действуют силы притяжения. Считая, что потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействии пропорциональна плотности газа, то есть $\Pi = \alpha \frac{N}{V}$, где $N$ - число молекул газа, $V$ - объем, занимаемый газом, $\alpha$ - коэффициент пропорциональности ($\alpha < 0$). Определить разность молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении ($c_{p}$) а при постоянном объеме ($c_{V}$).
Решение:
Сообщим газу некоторое количество тепла $\Delta Q$. Согласно первому закону термодинамики.
$\Delta Q = \Delta U + A$
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $A$ - работа, совершаемая газом.
Внутренняя энергия нереального газа складывается из кинетической энергии теплового движения молекул, которая является такой же. как в идеальном газе, н потенциально" энергии межмолекулярного взаимодействия: $U = U_{ид} + \Pi$. Из условия задачи следует, что между молекулами газа действуют силы притяжения. Действительно, тот факт, чго энергия межмолекулярного взаимодействия отрицательна ($\alpha < 0$), означает, что для удалении любой молекулы из области взаимодействия необходимо совершить положительную работу, то есть преодолеть силы притяжения.
Пусть при сообщении газу малого колчества тепла $\Delta Q$ объем, занимаемый газом, изменился на малую величину $\Delta V$, а температура газа изменилась на $\Delta T$. Изме пение внутренней энергии газа -
$\Delta U = \Delta U_{ид} + \Delta \Pi$,
работа, совершенная газом, -
$A = p \Delta V$,
Согласно условию задачи,
$\Delta \Pi = \frac{ \alpha N}{V + \Delta V} - \frac{ \alpha N}{V} = \frac{ \alpha N}{B} \left ( \frac{1}{1 + \frac{ \Delta V}{V} } - 1 \right ) \approx \frac{ \alpha N}{V} \left ( 1 - \frac{ \Delta V}{V} - 1 \right ) = - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \Delta V$.
Изменение внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры на $\Delta T$ равно
$\Delta U_{ид} = C_{V} \Delta T$,
где $C_{V}$ - теплоемкость данной массы газа при постоккком объеме (при $\Delta V = 0$).
Таким образом, $\Delta U = C_{V} \Delta T - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \Delta V$, и
$\Delta Q = C_{V} \Delta T - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \Delta V + p \Delta V = C_{V} \Delta T + \left ( p - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \right ) \Delta V$. (1)
При отсутствии межмолекулярного взаимодействия (при решении задачи с моделью "идеальный газ")
$\Delta Q = C_{V} \Delta T + p^{ \prime} \Delta V$,
где $p^{ \prime} = \frac{N}{V} kT$ - давление идеального газа. Таким образом, в результате действии межмолекулнрных сил притяжения давление газа оказывается меньше давления идеального газа на величину
$p^{ \prime} - p = - \frac{ \alpha N}{V^{2} }$
и равно
$p = \frac{N}{V} kT + \frac{ \alpha N}{V^{2} }$ ($\alpha < 0$). (2)
(Качественное объяснение этого факта очевидно: средняя сила, действующая на элемент поверхности стенки сосуда при соударении молекул со стеикон (именно эта сила и определяет давление газа), из-за притяжения ударяющихся о стенку молекул к молекулам, находящимся в глубине сосуда, оказывается меньше, чем при отсутствии этих сил притяжения, го есть меньше, чем в случае идеального газа.)
Соотношение (2) позволяет установить связь между $\Delta V$ и $\Delta T$ при постоянном давлении. Перепишем это соотношение в виде
$NkT = V \left ( p - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \right )$.
Тогда
$Nk \Delta T = \Delta V \left ( p - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \right ) + \frac{2 \alpha N}{V^{2} } \Delta V = \left ( \frac{NkT}{V} + \frac{2 \alpha N}{V^{2} } \right ) \Delta V$.
откуда
$\Delta V = \frac{NkV^{2} }{NkTV + 2 \alpha N} \Delta T$. (3)
Подставив в равенство (1) найденные выражении (2) и (3) для $p$ и $\Delta V$, получим:
$\Delta Q = C_{V} \Delta T + \frac{Nk}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} } \Delta T$.
Следовательно, теплоемкость данной массы газа при постоянном давлении равна
$C_{p} = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = C_{V} + \frac{Nk}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} }$.
Разность молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме равна
$c_{V} - c_{p} = \frac{N_{A}k}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} } = \frac{R}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} }$.
(Заметим, что теплоемкость $C_{p}$ зависит от объема, занимаемого газом, что является прямым следствием взаимодействия молекул. Теплоемкость же $C_{V}$ - такай же, как и у идеального газа, поскольку при постоянном объеме потенциальная энергия межмолекуляриого взаимодействия в газе не меняется.)
В неидиальном одноатомном газе между молекулами действуют силы притяжения. Считая, что потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействии пропорциональна плотности газа, то есть $\Pi = \alpha \frac{N}{V}$, где $N$ - число молекул газа, $V$ - объем, занимаемый газом, $\alpha$ - коэффициент пропорциональности ($\alpha < 0$). Определить разность молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении ($c_{p}$) а при постоянном объеме ($c_{V}$).
Решение:
Сообщим газу некоторое количество тепла $\Delta Q$. Согласно первому закону термодинамики.
$\Delta Q = \Delta U + A$
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $A$ - работа, совершаемая газом.
Внутренняя энергия нереального газа складывается из кинетической энергии теплового движения молекул, которая является такой же. как в идеальном газе, н потенциально" энергии межмолекулярного взаимодействия: $U = U_{ид} + \Pi$. Из условия задачи следует, что между молекулами газа действуют силы притяжения. Действительно, тот факт, чго энергия межмолекулярного взаимодействия отрицательна ($\alpha < 0$), означает, что для удалении любой молекулы из области взаимодействия необходимо совершить положительную работу, то есть преодолеть силы притяжения.
Пусть при сообщении газу малого колчества тепла $\Delta Q$ объем, занимаемый газом, изменился на малую величину $\Delta V$, а температура газа изменилась на $\Delta T$. Изме пение внутренней энергии газа -
$\Delta U = \Delta U_{ид} + \Delta \Pi$,
работа, совершенная газом, -
$A = p \Delta V$,
Согласно условию задачи,
$\Delta \Pi = \frac{ \alpha N}{V + \Delta V} - \frac{ \alpha N}{V} = \frac{ \alpha N}{B} \left ( \frac{1}{1 + \frac{ \Delta V}{V} } - 1 \right ) \approx \frac{ \alpha N}{V} \left ( 1 - \frac{ \Delta V}{V} - 1 \right ) = - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \Delta V$.
Изменение внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры на $\Delta T$ равно
$\Delta U_{ид} = C_{V} \Delta T$,
где $C_{V}$ - теплоемкость данной массы газа при постоккком объеме (при $\Delta V = 0$).
Таким образом, $\Delta U = C_{V} \Delta T - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \Delta V$, и
$\Delta Q = C_{V} \Delta T - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \Delta V + p \Delta V = C_{V} \Delta T + \left ( p - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \right ) \Delta V$. (1)
При отсутствии межмолекулярного взаимодействия (при решении задачи с моделью "идеальный газ")
$\Delta Q = C_{V} \Delta T + p^{ \prime} \Delta V$,
где $p^{ \prime} = \frac{N}{V} kT$ - давление идеального газа. Таким образом, в результате действии межмолекулнрных сил притяжения давление газа оказывается меньше давления идеального газа на величину
$p^{ \prime} - p = - \frac{ \alpha N}{V^{2} }$
и равно
$p = \frac{N}{V} kT + \frac{ \alpha N}{V^{2} }$ ($\alpha < 0$). (2)
(Качественное объяснение этого факта очевидно: средняя сила, действующая на элемент поверхности стенки сосуда при соударении молекул со стеикон (именно эта сила и определяет давление газа), из-за притяжения ударяющихся о стенку молекул к молекулам, находящимся в глубине сосуда, оказывается меньше, чем при отсутствии этих сил притяжения, го есть меньше, чем в случае идеального газа.)
Соотношение (2) позволяет установить связь между $\Delta V$ и $\Delta T$ при постоянном давлении. Перепишем это соотношение в виде
$NkT = V \left ( p - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \right )$.
Тогда
$Nk \Delta T = \Delta V \left ( p - \frac{ \alpha N}{V^{2} } \right ) + \frac{2 \alpha N}{V^{2} } \Delta V = \left ( \frac{NkT}{V} + \frac{2 \alpha N}{V^{2} } \right ) \Delta V$.
откуда
$\Delta V = \frac{NkV^{2} }{NkTV + 2 \alpha N} \Delta T$. (3)
Подставив в равенство (1) найденные выражении (2) и (3) для $p$ и $\Delta V$, получим:
$\Delta Q = C_{V} \Delta T + \frac{Nk}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} } \Delta T$.
Следовательно, теплоемкость данной массы газа при постоянном давлении равна
$C_{p} = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = C_{V} + \frac{Nk}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} }$.
Разность молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме равна
$c_{V} - c_{p} = \frac{N_{A}k}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} } = \frac{R}{1 + \frac{2 \alpha}{VkT} }$.
(Заметим, что теплоемкость $C_{p}$ зависит от объема, занимаемого газом, что является прямым следствием взаимодействия молекул. Теплоемкость же $C_{V}$ - такай же, как и у идеального газа, поскольку при постоянном объеме потенциальная энергия межмолекуляриого взаимодействия в газе не меняется.)
