Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12309
2019-12-31 
Межпланетный корабль совершил мягкую посадку на Луну. Корабль имеет форму диска радиуса $r = 4 м$; его поверхность покрыта черной (неотражающей) краской. Можно ли обнаружить прилунение корабля с помощью самого большого в мире советского телескопа БТА с диаметром объектива $D = 6 м$, если в фокальной плоскости установить фотопластинку и сфотографировать участок поверхности Луны, в котором находится предполагаемое место прилунения? Принять, что надежно различимая контрастность изображения на фотопластинке (то есть минимальная относительная разница в освещенности светлых и темных частей изображения) равна $k = 0,05$. Расстояние от Земли до Луны $L = 4 \cdot 10^{5} км$; фотографирование ведется и свете с длиной волны $\lambda = 0,6 мкм$. Оценить, при каком размере букв, выложенных космонавтами на поверхности Луны, их можно прочесть при наблюдении с Земли с помощью телескопа БТА.
Решение:
Вследствие дифракции света на оправе объектива с помощью телескопа можно различить две точки на поверхности Луны, находящиеся на расстоянии не менее
$R = \frac{ \lambda}{D} L = 40 м$.
Объекты, размер которых меньше $R$, неотличимы от точечного объекта. Для того чтобы прочитать букву, нужно различить несколько ее элементов. Оценка числа этих элементов может быть сделана только приближенно. Для этого можно попытаться, например, изображать буквы цепочками соприкасающихся кружков. Число кружков в таких цепочках должно быть не меньше 5 - 6, чтобы буквы отличались друг от друга. Учитывая, что радиус этих кружков на поверхности Луны должен быть $R = 40 м$, мы подучим оценку размера букв: $l \approx 400 - 500 м$.
При фотографировании освещенность любой точки изображения Луны в фокальной плоскости объектива создается за счет излучения всех элементов поверхности Луны, лежащих в пределах круга радиуса $R = 40 м$, то есть площади $S = \pi R^{2}$. Если часть площади этого круга будет закрыта черным (неотражающим) диском площади $s = \pi nr^{2}$, то освещенность изображения точки прилунения будет пропорциональна $(S - s)$, в то время как в других точках она пропорциональна $S$. Следовательно, контрастность изображения будет равна
$k = \frac{S - (S - s) }{S} = \frac{s}{S} = \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} = 10^{-2}$.
Эта величина меньше заданной в условии надежно различимой контрастности изображения $k_{min} = 5 \cdot 10^{-2}$. Следовательно, межпланетный корабль обнаружить не удастся.
Межпланетный корабль совершил мягкую посадку на Луну. Корабль имеет форму диска радиуса $r = 4 м$; его поверхность покрыта черной (неотражающей) краской. Можно ли обнаружить прилунение корабля с помощью самого большого в мире советского телескопа БТА с диаметром объектива $D = 6 м$, если в фокальной плоскости установить фотопластинку и сфотографировать участок поверхности Луны, в котором находится предполагаемое место прилунения? Принять, что надежно различимая контрастность изображения на фотопластинке (то есть минимальная относительная разница в освещенности светлых и темных частей изображения) равна $k = 0,05$. Расстояние от Земли до Луны $L = 4 \cdot 10^{5} км$; фотографирование ведется и свете с длиной волны $\lambda = 0,6 мкм$. Оценить, при каком размере букв, выложенных космонавтами на поверхности Луны, их можно прочесть при наблюдении с Земли с помощью телескопа БТА.
Решение:
Вследствие дифракции света на оправе объектива с помощью телескопа можно различить две точки на поверхности Луны, находящиеся на расстоянии не менее
$R = \frac{ \lambda}{D} L = 40 м$.
Объекты, размер которых меньше $R$, неотличимы от точечного объекта. Для того чтобы прочитать букву, нужно различить несколько ее элементов. Оценка числа этих элементов может быть сделана только приближенно. Для этого можно попытаться, например, изображать буквы цепочками соприкасающихся кружков. Число кружков в таких цепочках должно быть не меньше 5 - 6, чтобы буквы отличались друг от друга. Учитывая, что радиус этих кружков на поверхности Луны должен быть $R = 40 м$, мы подучим оценку размера букв: $l \approx 400 - 500 м$.
При фотографировании освещенность любой точки изображения Луны в фокальной плоскости объектива создается за счет излучения всех элементов поверхности Луны, лежащих в пределах круга радиуса $R = 40 м$, то есть площади $S = \pi R^{2}$. Если часть площади этого круга будет закрыта черным (неотражающим) диском площади $s = \pi nr^{2}$, то освещенность изображения точки прилунения будет пропорциональна $(S - s)$, в то время как в других точках она пропорциональна $S$. Следовательно, контрастность изображения будет равна
$k = \frac{S - (S - s) }{S} = \frac{s}{S} = \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} = 10^{-2}$.
Эта величина меньше заданной в условии надежно различимой контрастности изображения $k_{min} = 5 \cdot 10^{-2}$. Следовательно, межпланетный корабль обнаружить не удастся.
