Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12307
2019-12-31 
В теплоизолированном цилиндре под легким поршнем находится смесь равных количеств воды и льда: $m_{в} = m_{л} = 1 кг$. Давление на поршень медленно увеличивают от начального значения $p_{0} = 10^{5} Па$ до $p_{1} = 2,5 \cdot 10^{6} Па$. Определить, сколько льда при этом растает и какую работу совершит внешняя сила. Известно, что для уменьшения температуры плавления льда на 1 градус нужно довести давление до $p = 14 \cdot 10^{5} Па$.
1) Решите задачу, считая воду и лед несжимаемыми.
2) Оцените поправку, которую дает учет сжимаемости.
Известно, что для уменьшения объема некоторого количества воды на 1% давление нужно поднять до $p^{ \prime} = 20 \cdot 10^{5} Па$. Сжимаемость льда примите для оценки равной половине сжимаемости воды.
Удельные теплоемкости воды и льда - $c_{в} = 4,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К), c_{л} = 2,1 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$; удельная теплота плавления льда $\lambda = 3 \cdot 10^{5} Дж/кг$, плотность льда $\rho_{л} = 0,9 \rho_{в}$ где $\rho_{в}$ - плотность воды.
Решение:
1) Сначала найдем уменьшение температуры смеси в результате увеличения внешнего давления:
$\Delta T = \frac{p_{1} }{p} \approx 0,17 К$.
Столь малое изменение температуры указывает на то, что растает малое количество льда, то есть $\Delta m \ll m_{л}$.
Запишем закон сохранения энергии:
$A = \lambda \cdot \Delta m - (c_{л} + c_{в}) m \cdot \Delta T$.
Оценим значение работы $A$ внешней силы. Изменение объема смеси в результате таяния массы $\Delta m$ льда равно
$\Delta V = \frac{ \Delta m }{ \rho_{л} } - \frac{ \Delta m }{ \rho_{в} } = \Delta m \frac{ \rho_{в} - \rho_{л} }{ \rho_{в} \rho_{л} } \ll 0,1 \frac{m}{ \rho_{л} } \sim 10^{-4} м^{3}$,
следовательно,
$A \approx p_{1} \Delta V \ll 2,5 \cdot 10^{2} Дж$.
Количество тепла $\Delta Q$, необходимое для нагревания массы $m$ льда и массы $m$ воды на $\Delta T$ градусов, равно
$\Delta Q = (c_{л} + c_{в})m \Delta T \approx 1,1 \cdot 10^{-3} Дж$.
Видно, что $A \ll \Delta Q$; поэтому можно для оценки считать, что $\lambda \Delta m \approx \Delta Q$, откуда
$\Delta m = \frac{ \Delta Q}{ \lambda} \approx 3,7 \cdot 10^{-3} кг$.
Изменение объема за счет таяния этой массы льда равно
$\Delta V = \Delta m \frac{ \rho_{в} - \rho_{л} }{ \rho_{в} \rho_{л} } \approx 4 \cdot 10^{-7} м^{3}$.
Учитывая, что при медленном увеличении давления $\Delta V \sim \Delta p$, найдем работу внешней силы:
$A = \frac{1}{2} p_{1} \Delta V \approx 0,5 Дж$.
2) Примем во внимание сжимаемость льда и воды. Изменение объема льда и воды будет равно
$\Delta V^{ \prime} = \frac{p_{1} }{p^{ \prime} } 10^{-2} V_{ов} + \frac{p_{1} }{p^{ \prime} } 10^{-2} \frac{V_{ов} }{2}$.
где $V_{ов} = 10^{-3} м^{3}$ и $V_{ол} = 1,1 \cdot 10^{-3} м^{3}$ - начальные объемы воды и льда. Подставляя числовые данные, находим
$\Delta V^{ \prime} \approx 2 \cdot 10^{-6} м^{3}$.
Работа $A^{ \prime}$ внешней силы, затраченная на сжатие смеси, равна
$A^{ \prime} = \frac{1}{2} p_{1} \Delta V^{ \prime} \approx 2,5 Дж$.
Полная работа внешней силы равна
$A_{п} = A + A^{ \prime} \approx 3 Дж$.
В теплоизолированном цилиндре под легким поршнем находится смесь равных количеств воды и льда: $m_{в} = m_{л} = 1 кг$. Давление на поршень медленно увеличивают от начального значения $p_{0} = 10^{5} Па$ до $p_{1} = 2,5 \cdot 10^{6} Па$. Определить, сколько льда при этом растает и какую работу совершит внешняя сила. Известно, что для уменьшения температуры плавления льда на 1 градус нужно довести давление до $p = 14 \cdot 10^{5} Па$.
1) Решите задачу, считая воду и лед несжимаемыми.
2) Оцените поправку, которую дает учет сжимаемости.
Известно, что для уменьшения объема некоторого количества воды на 1% давление нужно поднять до $p^{ \prime} = 20 \cdot 10^{5} Па$. Сжимаемость льда примите для оценки равной половине сжимаемости воды.
Удельные теплоемкости воды и льда - $c_{в} = 4,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К), c_{л} = 2,1 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$; удельная теплота плавления льда $\lambda = 3 \cdot 10^{5} Дж/кг$, плотность льда $\rho_{л} = 0,9 \rho_{в}$ где $\rho_{в}$ - плотность воды.
Решение:
1) Сначала найдем уменьшение температуры смеси в результате увеличения внешнего давления:
$\Delta T = \frac{p_{1} }{p} \approx 0,17 К$.
Столь малое изменение температуры указывает на то, что растает малое количество льда, то есть $\Delta m \ll m_{л}$.
Запишем закон сохранения энергии:
$A = \lambda \cdot \Delta m - (c_{л} + c_{в}) m \cdot \Delta T$.
Оценим значение работы $A$ внешней силы. Изменение объема смеси в результате таяния массы $\Delta m$ льда равно
$\Delta V = \frac{ \Delta m }{ \rho_{л} } - \frac{ \Delta m }{ \rho_{в} } = \Delta m \frac{ \rho_{в} - \rho_{л} }{ \rho_{в} \rho_{л} } \ll 0,1 \frac{m}{ \rho_{л} } \sim 10^{-4} м^{3}$,
следовательно,
$A \approx p_{1} \Delta V \ll 2,5 \cdot 10^{2} Дж$.
Количество тепла $\Delta Q$, необходимое для нагревания массы $m$ льда и массы $m$ воды на $\Delta T$ градусов, равно
$\Delta Q = (c_{л} + c_{в})m \Delta T \approx 1,1 \cdot 10^{-3} Дж$.
Видно, что $A \ll \Delta Q$; поэтому можно для оценки считать, что $\lambda \Delta m \approx \Delta Q$, откуда
$\Delta m = \frac{ \Delta Q}{ \lambda} \approx 3,7 \cdot 10^{-3} кг$.
Изменение объема за счет таяния этой массы льда равно
$\Delta V = \Delta m \frac{ \rho_{в} - \rho_{л} }{ \rho_{в} \rho_{л} } \approx 4 \cdot 10^{-7} м^{3}$.
Учитывая, что при медленном увеличении давления $\Delta V \sim \Delta p$, найдем работу внешней силы:
$A = \frac{1}{2} p_{1} \Delta V \approx 0,5 Дж$.
2) Примем во внимание сжимаемость льда и воды. Изменение объема льда и воды будет равно
$\Delta V^{ \prime} = \frac{p_{1} }{p^{ \prime} } 10^{-2} V_{ов} + \frac{p_{1} }{p^{ \prime} } 10^{-2} \frac{V_{ов} }{2}$.
где $V_{ов} = 10^{-3} м^{3}$ и $V_{ол} = 1,1 \cdot 10^{-3} м^{3}$ - начальные объемы воды и льда. Подставляя числовые данные, находим
$\Delta V^{ \prime} \approx 2 \cdot 10^{-6} м^{3}$.
Работа $A^{ \prime}$ внешней силы, затраченная на сжатие смеси, равна
$A^{ \prime} = \frac{1}{2} p_{1} \Delta V^{ \prime} \approx 2,5 Дж$.
Полная работа внешней силы равна
$A_{п} = A + A^{ \prime} \approx 3 Дж$.
