Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12306
2019-12-31 
В одним из проектов получения электроэнергии предлагалось использовать морские течения и магнитное поле Земли. Проект заключается в следующем.
В море погружают две горизонтальные металлические пластины, расположенные одна над другой на расстоянии $l = 100 $; площадь каждой пластины $S = 1 км^{2}$. Морская вода, удельное сопротивление которой равно $\rho = 0,25 Ом \cdot м$, протекает между пластинами с запада на восток со скоростью $v = 1 м/с$. Магнитное поле Земли и данном месте однородно, направлено с юга на север; индукция поля равна $B = 10^{-4} Тл$. Определить максимальную электрическую мощность, которая может выделиться на нагрузке, подсоединенной к пластинам.
Решение:
Морская вода обладает заметной ионной проводимостью, так что при движении заряженных ионов в магнитном ноле Земли они отклоняются силой Лоренца к одной из горизонтальных пластин. В результате на этой пластине возникает некомпенсированный заряд, и между пластинами появляется электрическое поле. Это поле действует на ионы с силой, направленной противоположно силе Лоренца. Такое накопление заряда на одной из пластин будет происходить до тех пор, пока электрическое поле этих зарядов не уравновесит действие силы Лоренца. Отметим, что для возникновения такого равновесия достаточно отклонения к одной из пластин весьма малой доли ионов из их общего числа, протекающих между пластинами.
Определим напряжение $\mathcal{E}$, возникающее между горизонтальными пластинами в отсутствии между ними тока, то есть ЭДС образовавшегося "электрического генератора". Если $q$ - заряд ионов, то в условиях равновесия
$qvB = q \frac{ \mathcal{E}}{L} \Rightarrow \mathcal{E} = vBL$.
Если соединить пластины с внешней нагрузкой $R$, то через нее потечет ток $I$; при этом сопротивление морской воды между пластинами, равное $\frac{ \rho L}{S}$, будет играть роль внутреннего сопротивления образовавшегося электрического генератора.
Определим мощность, выделяющуюся в нагрузке:
$P = I^{2}R = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{ \left ( \frac{ \rho L}{S} + R \right )^{2} }$.
Для определения максимума, мощности воспользуемся следующим математическим фактом: для любого $x > 0$ выполняются неравенства
$x + \frac{1}{x} \geq 2, \left ( x + \frac{1}{x} \right )^{2} \geq 4$.
В формуле для мощности вынесем в знаменателе множитель $\frac{ \rho LR}{S}$ за скобки:
$P = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{ \frac{ \rho LR}{S} \left ( \frac{ \rho L}{SR} + \frac{RS}{L \rho} \right )^{2} }$.
В последней формуле выражение в скобках в знаменателе больше или равно 4. Поэтому для максимальной мощности имеем:
$P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2}S }{4 \rho L} = \frac{v^{2}B^{2}LS }{4 \rho} = 1 Вт$.
(Заметим, что эта формула соответствует случаю равенства внешней нагрузки внутреннему сопротивлению генератора.)
В одним из проектов получения электроэнергии предлагалось использовать морские течения и магнитное поле Земли. Проект заключается в следующем.
В море погружают две горизонтальные металлические пластины, расположенные одна над другой на расстоянии $l = 100 $; площадь каждой пластины $S = 1 км^{2}$. Морская вода, удельное сопротивление которой равно $\rho = 0,25 Ом \cdot м$, протекает между пластинами с запада на восток со скоростью $v = 1 м/с$. Магнитное поле Земли и данном месте однородно, направлено с юга на север; индукция поля равна $B = 10^{-4} Тл$. Определить максимальную электрическую мощность, которая может выделиться на нагрузке, подсоединенной к пластинам.
Решение:
Морская вода обладает заметной ионной проводимостью, так что при движении заряженных ионов в магнитном ноле Земли они отклоняются силой Лоренца к одной из горизонтальных пластин. В результате на этой пластине возникает некомпенсированный заряд, и между пластинами появляется электрическое поле. Это поле действует на ионы с силой, направленной противоположно силе Лоренца. Такое накопление заряда на одной из пластин будет происходить до тех пор, пока электрическое поле этих зарядов не уравновесит действие силы Лоренца. Отметим, что для возникновения такого равновесия достаточно отклонения к одной из пластин весьма малой доли ионов из их общего числа, протекающих между пластинами.
Определим напряжение $\mathcal{E}$, возникающее между горизонтальными пластинами в отсутствии между ними тока, то есть ЭДС образовавшегося "электрического генератора". Если $q$ - заряд ионов, то в условиях равновесия
$qvB = q \frac{ \mathcal{E}}{L} \Rightarrow \mathcal{E} = vBL$.
Если соединить пластины с внешней нагрузкой $R$, то через нее потечет ток $I$; при этом сопротивление морской воды между пластинами, равное $\frac{ \rho L}{S}$, будет играть роль внутреннего сопротивления образовавшегося электрического генератора.
Определим мощность, выделяющуюся в нагрузке:
$P = I^{2}R = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{ \left ( \frac{ \rho L}{S} + R \right )^{2} }$.
Для определения максимума, мощности воспользуемся следующим математическим фактом: для любого $x > 0$ выполняются неравенства
$x + \frac{1}{x} \geq 2, \left ( x + \frac{1}{x} \right )^{2} \geq 4$.
В формуле для мощности вынесем в знаменателе множитель $\frac{ \rho LR}{S}$ за скобки:
$P = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{ \frac{ \rho LR}{S} \left ( \frac{ \rho L}{SR} + \frac{RS}{L \rho} \right )^{2} }$.
В последней формуле выражение в скобках в знаменателе больше или равно 4. Поэтому для максимальной мощности имеем:
$P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2}S }{4 \rho L} = \frac{v^{2}B^{2}LS }{4 \rho} = 1 Вт$.
(Заметим, что эта формула соответствует случаю равенства внешней нагрузки внутреннему сопротивлению генератора.)
