Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12305
2019-12-31 
В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, используемых человечеством, составляет $\Delta P = 10^{13} Вт$, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю, — $P_{0} = 10^{12} Вт$. К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводит земные источники энергии? Какова максимально допустимая величина $\Delta P_{max}$, если предельный перегрев из экологических соображений не должен превышать величины $\Delta T_{max} = 0,1 К$? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нагретым телом, увеличивается в 16 раз при увеличении абсолютной температуры тела в 2 раза.
Решение:
Предположим, что мощность $P$, излучаемая нагретым телом связана с абсолютной температурой $T$ степенной зависимостью $P = \sigma T^{n}$, где $\sigma$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда для двух значений температур излучающего тела $T_{1}$ и $T_{2}$ получим
$P_{1} = \sigma T_{1}^{ n}, P_{2} = \sigma T_{2}^{n}$ и $\frac{P_{1} }{P_{2} } = \left( \frac{T_{1} }{T_{2} } \right )^{n}$.
Отсюда легко получить, используя данные задачи, что $n = 4$.
Итак, $P = \sigma T^{4}$. Теперь можно записать:
$P_{0} + \Delta P = \sigma (T_{0} + \Delta T)^{4} \approx \sigma T_{0}^{4} \left ( 1 + 4 \frac{ \Delta T}{T_{0} } + \cdots \right )$.
Поскольку $\Delta T/T_{0} \ll 1$, в последнем выражении можно отбросить члены второго и более высоких порядков. Тогда получим:
$\Delta P = 4P_{0} \frac{ \Delta T}{T_{0} }$
Отсюда находим:
$\Delta P = \frac{ \Delta P}{4P_{0}} T_{0} \approx 10^{-2} К$,
$\Delta P_{max} = 4P_{0} \frac{ \Delta T_{max} }{T_{0} } \approx 10^{14} Вт$.
Таким образом, мощность всех источников энергий на Земле, используемых человечеством, может быть увеличена не более чем в 10 раз. (Это, разумеется, не относится к источникам, использующим солнечную энергию.)
В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, используемых человечеством, составляет $\Delta P = 10^{13} Вт$, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю, — $P_{0} = 10^{12} Вт$. К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводит земные источники энергии? Какова максимально допустимая величина $\Delta P_{max}$, если предельный перегрев из экологических соображений не должен превышать величины $\Delta T_{max} = 0,1 К$? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нагретым телом, увеличивается в 16 раз при увеличении абсолютной температуры тела в 2 раза.
Решение:
Предположим, что мощность $P$, излучаемая нагретым телом связана с абсолютной температурой $T$ степенной зависимостью $P = \sigma T^{n}$, где $\sigma$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда для двух значений температур излучающего тела $T_{1}$ и $T_{2}$ получим
$P_{1} = \sigma T_{1}^{ n}, P_{2} = \sigma T_{2}^{n}$ и $\frac{P_{1} }{P_{2} } = \left( \frac{T_{1} }{T_{2} } \right )^{n}$.
Отсюда легко получить, используя данные задачи, что $n = 4$.
Итак, $P = \sigma T^{4}$. Теперь можно записать:
$P_{0} + \Delta P = \sigma (T_{0} + \Delta T)^{4} \approx \sigma T_{0}^{4} \left ( 1 + 4 \frac{ \Delta T}{T_{0} } + \cdots \right )$.
Поскольку $\Delta T/T_{0} \ll 1$, в последнем выражении можно отбросить члены второго и более высоких порядков. Тогда получим:
$\Delta P = 4P_{0} \frac{ \Delta T}{T_{0} }$
Отсюда находим:
$\Delta P = \frac{ \Delta P}{4P_{0}} T_{0} \approx 10^{-2} К$,
$\Delta P_{max} = 4P_{0} \frac{ \Delta T_{max} }{T_{0} } \approx 10^{14} Вт$.
Таким образом, мощность всех источников энергий на Земле, используемых человечеством, может быть увеличена не более чем в 10 раз. (Это, разумеется, не относится к источникам, использующим солнечную энергию.)
