Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12302
2019-12-31 
Спутник представляет собой легкую жесткую сферу радиуса $R = 1 м$ и массы $M = 1 кг$, наполненную воздухом при давлении $p = 10^{-3} атм$ и температуре $T = 300 К$. Одновременно в стенке сферы открываются два клапана, расположенные друг от друга на расстоянии, равном радиусу сферы. Площади клапанов $S_{1} = 10^{-4} см^{2}$ и $S_{2} = 2 \cdot 10^{-4} см^{2}$. Найти величину отклонения спутника от прежней траектории за время $\tau = 100 с$.
Решение:
До открытия клапанов давление внутри сферы равнялось $p$. Оно являлось результатом упругого отражения молекул от стенки, причем каждая молекула сообщала стенке импульс $2mv_{ \perp}$, где $v_{ \perp}$ - абсолютная величина перпендикулярной стенке проекции скорости молекулы. После открытия клапана каждая молекула переносит через "поверхность" отверстия только импульс $mv_{ \perp}$. Следовательно, на сферу будут действовать силы $F_{1} = \frac{p}{2} S$, и $F_{2} = \frac{p}{2} S_{2} = pS_{1}$, направленные по радиусам. Спроектировав эти силы на оси ОХ и OY, найдем проекции $F_{x}$ и $F_{y}$ равнодействующей этих сил (см. рисунок):
$F_{x} = F_{1} \cos 30^{ \circ} + F_{2} \cos 30^{ \circ} = \frac{3}{2} pS_{1} \cos 30^{ \circ}$,
$F_{y} = - F_{1} \sin 30^{ \circ} + F_{2} \sin 30^{ \circ} = \frac{1}{2} pS_{1} \sin 30^{ \circ}$.
Таким образом, результирующая сила, действующая на сферу, равна по абсолютной величине
$F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} } = \sqrt{ \frac{7}{4} } pS_{1}$
и направлена под углом $\alpha$ к оси ОХ таким, что
$tg \alpha = \frac{F_{y} }{F_{x} } = \frac{tg 30^{ \circ} }{3}$.
Действие этой силы приведет к равноускоренному движению сферы, которое легко рассчитать, если за рассматриваемое время $\tau$ масса воздуха внутри сферы и давление изменяются несущественно. Оценим изменение массы.
Число молекул, пролетающих за единицу времени через единичную площадку поверхности сферы, по порядку величины равно $\frac{1}{6} n \bar{v}$ (размерность - $м^{-2}с^{-1}$), где $n$ - число молекул в единице объема, $\bar{v}$ - средняя скорость теплового движения молекул. За время $\tau$ через два отверстия с общей площадью $3S_{1}$, вытечет масса
$\Delta m \sim m \frac{1}{6} n \bar{v} \cdot 3S_{1} \tau = \frac{1}{2} \rho \bar{v} S_{1} \tau$,
где $\rho = 10^{-3} кг/м^{3}, \bar{v} \approx 500 м/с$. Подставляя числовые данные, находим $\Delta m \sim \frac{5}{2} 10^{-7} кг$. Начальная же масса воздуха
равна $m_{0} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \approx 4 \cdot 10^{-3} кг$. Таким образом, $\Delta m \ll m_{0}$.
Считая массу воздуха и давление постоянными, найдем проекции ускорения и перемещения сферы на оси ОХ и OY:
$a_{x} = \frac{F_{x} }{M + m_{0} } \approx \frac{F_{x} }{M}, a_{y} = \frac{F_{y} }{M + m_{0} } \approx \frac{F_{y} }{M}$,
$x = \frac{a_{x} \tau^{2} }{2} \approx \frac{F_{x} }{2M} \tau^{2} = \frac{3}{4M} pS_{1} \cos 30^{ \circ} \tau^{2} = \frac{3 \sqrt{3} }{8} \cdot 10^{-2} м$,
$y = \frac{a_{y} \tau^{2} }{2} \approx \frac{F_{y} }{2M} \tau^{2} = \frac{1}{4M} pS_{1} \sin 30^{ \circ} \tau^{2} = \frac{1}{8} \cdot 10^{-2} м$.
Спутник представляет собой легкую жесткую сферу радиуса $R = 1 м$ и массы $M = 1 кг$, наполненную воздухом при давлении $p = 10^{-3} атм$ и температуре $T = 300 К$. Одновременно в стенке сферы открываются два клапана, расположенные друг от друга на расстоянии, равном радиусу сферы. Площади клапанов $S_{1} = 10^{-4} см^{2}$ и $S_{2} = 2 \cdot 10^{-4} см^{2}$. Найти величину отклонения спутника от прежней траектории за время $\tau = 100 с$.
Решение:
До открытия клапанов давление внутри сферы равнялось $p$. Оно являлось результатом упругого отражения молекул от стенки, причем каждая молекула сообщала стенке импульс $2mv_{ \perp}$, где $v_{ \perp}$ - абсолютная величина перпендикулярной стенке проекции скорости молекулы. После открытия клапана каждая молекула переносит через "поверхность" отверстия только импульс $mv_{ \perp}$. Следовательно, на сферу будут действовать силы $F_{1} = \frac{p}{2} S$, и $F_{2} = \frac{p}{2} S_{2} = pS_{1}$, направленные по радиусам. Спроектировав эти силы на оси ОХ и OY, найдем проекции $F_{x}$ и $F_{y}$ равнодействующей этих сил (см. рисунок):
$F_{x} = F_{1} \cos 30^{ \circ} + F_{2} \cos 30^{ \circ} = \frac{3}{2} pS_{1} \cos 30^{ \circ}$,
$F_{y} = - F_{1} \sin 30^{ \circ} + F_{2} \sin 30^{ \circ} = \frac{1}{2} pS_{1} \sin 30^{ \circ}$.
Таким образом, результирующая сила, действующая на сферу, равна по абсолютной величине
$F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} } = \sqrt{ \frac{7}{4} } pS_{1}$
и направлена под углом $\alpha$ к оси ОХ таким, что
$tg \alpha = \frac{F_{y} }{F_{x} } = \frac{tg 30^{ \circ} }{3}$.
Действие этой силы приведет к равноускоренному движению сферы, которое легко рассчитать, если за рассматриваемое время $\tau$ масса воздуха внутри сферы и давление изменяются несущественно. Оценим изменение массы.
Число молекул, пролетающих за единицу времени через единичную площадку поверхности сферы, по порядку величины равно $\frac{1}{6} n \bar{v}$ (размерность - $м^{-2}с^{-1}$), где $n$ - число молекул в единице объема, $\bar{v}$ - средняя скорость теплового движения молекул. За время $\tau$ через два отверстия с общей площадью $3S_{1}$, вытечет масса
$\Delta m \sim m \frac{1}{6} n \bar{v} \cdot 3S_{1} \tau = \frac{1}{2} \rho \bar{v} S_{1} \tau$,
где $\rho = 10^{-3} кг/м^{3}, \bar{v} \approx 500 м/с$. Подставляя числовые данные, находим $\Delta m \sim \frac{5}{2} 10^{-7} кг$. Начальная же масса воздуха
равна $m_{0} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \approx 4 \cdot 10^{-3} кг$. Таким образом, $\Delta m \ll m_{0}$.
Считая массу воздуха и давление постоянными, найдем проекции ускорения и перемещения сферы на оси ОХ и OY:
$a_{x} = \frac{F_{x} }{M + m_{0} } \approx \frac{F_{x} }{M}, a_{y} = \frac{F_{y} }{M + m_{0} } \approx \frac{F_{y} }{M}$,
$x = \frac{a_{x} \tau^{2} }{2} \approx \frac{F_{x} }{2M} \tau^{2} = \frac{3}{4M} pS_{1} \cos 30^{ \circ} \tau^{2} = \frac{3 \sqrt{3} }{8} \cdot 10^{-2} м$,
$y = \frac{a_{y} \tau^{2} }{2} \approx \frac{F_{y} }{2M} \tau^{2} = \frac{1}{4M} pS_{1} \sin 30^{ \circ} \tau^{2} = \frac{1}{8} \cdot 10^{-2} м$.
