Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12301
2019-12-31 
На расстоянии $L_{1} = 5 м$ от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 10 см$ расположена равномерно освещенная вертикальная плоскость П. Между линзой и плоскостью на расстоянии $L_{2} = 1 м$ от линзы расположена вертикально непрозрачная пластинка толщины $l = 5 см$, в которой проделано отверстие диаметра $d = 1 см$ (центр отверстия находится на главной оптической оси линзы). Как будет выглядеть пятно на экране Э, помещенном в фокальной плоскости линзы справа от нее? (Внутренние стенки отверстия не отражают свет.)
Решение:
Необычная "диафрагма", не прилегающая к линзе вплотную, существенно влияет на изображение - оно оказывается неравномерно освещенным пятном. Размер яркой области в центре пятна определяется двумя факторами: диаметром совершенно не закрытой зоны стены (плоскости П) - он равен диаметру $d$ отверстия - и тем, что экран расположен в плоскости резкого изображения - эта плоскость находится от линзы на расстоянии
$f = \frac{L_{1}F }{L_{1} - F } = \frac{500 \cdot 10}{500 - 10} \approx 10,2 см$.
Без учета второго фактора (изображение - в фокальной плоскости) размер пятна
$d_{1} = d \frac{F}{L{1} } = 1 \cdot \frac{10}{500} = 0,02 см =0,2 мм$.
За счет второго фактора изображение "размазывается", степень "размазывания" зависит от диаметра лннзы $D$. Примем для оценки $D = 2 см$. Тогда изображение точки стены на экране в фокальной плоскости вместо точки будет кругом с диаметром
$d_{1} = D \frac{F^{ \prime} - F }{F^{ \prime} } = 2 \frac{10,2 - 10}{10} = 0,04 см = 0,4 мм$.
Таким образом, диаметр яркого пятна в центре изображения будет примерно 0,6 мм.
Если бы линза была большого диаметра, то полный размер пятна определялся бы расстоянием от оси линзы до тех точек стены, которые еще видны через диафрагму. Ясно, что входное и выходное отверстия диафрагмы полностью перекрывают лучи от точек стены, удаленных от оси на расстояния большие чем
$r \approx (L_{1} - L_{2}) \frac{d}{l} = ( 500 - 100 ) \frac{1}{5} = 80 см$.
Тогда пятно имело бы диаметр
$d_{3} \approx 2r \frac{F}{L_{1}} =2 \cdot 80 \frac{10}{500} = 3,2 см$,
и его освещенность спадала бы от максимума в центральном круге до нуля к краям (чем дальше от оси, тем большая часть светового потока перекрывается диафрагмой, да н угол падения лучей увеличивается).
Для того чтобы сказанное было справедливо, нужно иметь линзу с диаметром $D^{ \prime} \approx 2r \frac{L_{2}}{L_{1} - L_{2}} = 40 см$. Так как реально линза имеет существенно меньший диаметр, размер большого пятна определяется диаметром линзы и размером входного отверстия диафрагмы. На линзу попадают лучи от тех точек стены, которые лежат внутри круга радиуса $r_{1} \approx \frac{L_{1} - L_{2} }{L_{2} } \left ( \frac{D}{2} + \frac{d}{2} \right )$. Для $D = 2 см$ $r_{1} \approx 6 см$, и максимальный диаметр пятна на экране -
$d_{4} = 2r_{1} \frac{F}{L_{1} } \approx 2 \cdot 6 \frac{10}{500} \approx 0,24 см = 2,4 мм$.
На расстоянии $L_{1} = 5 м$ от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 10 см$ расположена равномерно освещенная вертикальная плоскость П. Между линзой и плоскостью на расстоянии $L_{2} = 1 м$ от линзы расположена вертикально непрозрачная пластинка толщины $l = 5 см$, в которой проделано отверстие диаметра $d = 1 см$ (центр отверстия находится на главной оптической оси линзы). Как будет выглядеть пятно на экране Э, помещенном в фокальной плоскости линзы справа от нее? (Внутренние стенки отверстия не отражают свет.)
Решение:
Необычная "диафрагма", не прилегающая к линзе вплотную, существенно влияет на изображение - оно оказывается неравномерно освещенным пятном. Размер яркой области в центре пятна определяется двумя факторами: диаметром совершенно не закрытой зоны стены (плоскости П) - он равен диаметру $d$ отверстия - и тем, что экран расположен в плоскости резкого изображения - эта плоскость находится от линзы на расстоянии
$f = \frac{L_{1}F }{L_{1} - F } = \frac{500 \cdot 10}{500 - 10} \approx 10,2 см$.
Без учета второго фактора (изображение - в фокальной плоскости) размер пятна
$d_{1} = d \frac{F}{L{1} } = 1 \cdot \frac{10}{500} = 0,02 см =0,2 мм$.
За счет второго фактора изображение "размазывается", степень "размазывания" зависит от диаметра лннзы $D$. Примем для оценки $D = 2 см$. Тогда изображение точки стены на экране в фокальной плоскости вместо точки будет кругом с диаметром
$d_{1} = D \frac{F^{ \prime} - F }{F^{ \prime} } = 2 \frac{10,2 - 10}{10} = 0,04 см = 0,4 мм$.
Таким образом, диаметр яркого пятна в центре изображения будет примерно 0,6 мм.
Если бы линза была большого диаметра, то полный размер пятна определялся бы расстоянием от оси линзы до тех точек стены, которые еще видны через диафрагму. Ясно, что входное и выходное отверстия диафрагмы полностью перекрывают лучи от точек стены, удаленных от оси на расстояния большие чем
$r \approx (L_{1} - L_{2}) \frac{d}{l} = ( 500 - 100 ) \frac{1}{5} = 80 см$.
Тогда пятно имело бы диаметр
$d_{3} \approx 2r \frac{F}{L_{1}} =2 \cdot 80 \frac{10}{500} = 3,2 см$,
и его освещенность спадала бы от максимума в центральном круге до нуля к краям (чем дальше от оси, тем большая часть светового потока перекрывается диафрагмой, да н угол падения лучей увеличивается).
Для того чтобы сказанное было справедливо, нужно иметь линзу с диаметром $D^{ \prime} \approx 2r \frac{L_{2}}{L_{1} - L_{2}} = 40 см$. Так как реально линза имеет существенно меньший диаметр, размер большого пятна определяется диаметром линзы и размером входного отверстия диафрагмы. На линзу попадают лучи от тех точек стены, которые лежат внутри круга радиуса $r_{1} \approx \frac{L_{1} - L_{2} }{L_{2} } \left ( \frac{D}{2} + \frac{d}{2} \right )$. Для $D = 2 см$ $r_{1} \approx 6 см$, и максимальный диаметр пятна на экране -
$d_{4} = 2r_{1} \frac{F}{L_{1} } \approx 2 \cdot 6 \frac{10}{500} \approx 0,24 см = 2,4 мм$.
