Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12300
2019-12-31 
По винтообразному желобу с прямоугольным профилем, вырезанному на внутренней поверхности бесконечного длинного полого цилиндра, скользит маленький кубик (рис.). Радиус основания цилиндра равен $R$, шаг винта - $h$, коэффициент трения скольжения - $\mu$. Найти установившуюся скорость движения кубика. ( Размер кубика и глубина желоба много меньше $R$.)
Решение:
Для решения задачи удобно "развернуть" цилиндр. Траектория кубика на развертке - прямая, наклоненная под углом $\alpha$ к горизонту (рис.).
Кубик движется с установившейся скоростью, когда сумма проекции сил, действующих на кубик, на направление наклонной прямой равна нулю. Запишем это условие:
$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha - \mu \frac{mv_{ \perp}^{2} }{R} = 0$. (*)
Здесь $mg \sin \alpha$ - проекция силы тяжести, $\mu mg \cos \alpha$ - проекция силы трения о "дно" желоба, $\mu \frac{mv_{ \perp}^{2} }{R}$ - проекция силы трения о боковую стенку желоба (эта сила равна $\mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции со стороны боковой стенки, сообщающая кубику центростремительное ускорение $\frac{v_{ \perp}^{2} }{R} s = \frac{v^{2} \cos^{2} \alpha }{R}$, то есть $N = \frac{mv^{2} \cos^{2} \alpha }{R}$). Из выражения (*), учитывая, что $\sin \alpha = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} } }$ и $\cos \alpha = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} } }$, находим установившуюся скорость движения кубика:
$v = \sqrt{Rg \sqrt{1 + \left ( \frac{h}{ 2 \pi R} \right )^{2} } \left ( \frac{h}{2 \pi R \mu} - 1 \right ) }$.
(Из полученного выражения видно, что кубик будет двигаться по желобу при условии $\mu < \frac{h}{2 \pi R}$.)
По винтообразному желобу с прямоугольным профилем, вырезанному на внутренней поверхности бесконечного длинного полого цилиндра, скользит маленький кубик (рис.). Радиус основания цилиндра равен $R$, шаг винта - $h$, коэффициент трения скольжения - $\mu$. Найти установившуюся скорость движения кубика. ( Размер кубика и глубина желоба много меньше $R$.)
Решение:
Для решения задачи удобно "развернуть" цилиндр. Траектория кубика на развертке - прямая, наклоненная под углом $\alpha$ к горизонту (рис.).
Кубик движется с установившейся скоростью, когда сумма проекции сил, действующих на кубик, на направление наклонной прямой равна нулю. Запишем это условие:
$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha - \mu \frac{mv_{ \perp}^{2} }{R} = 0$. (*)
Здесь $mg \sin \alpha$ - проекция силы тяжести, $\mu mg \cos \alpha$ - проекция силы трения о "дно" желоба, $\mu \frac{mv_{ \perp}^{2} }{R}$ - проекция силы трения о боковую стенку желоба (эта сила равна $\mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции со стороны боковой стенки, сообщающая кубику центростремительное ускорение $\frac{v_{ \perp}^{2} }{R} s = \frac{v^{2} \cos^{2} \alpha }{R}$, то есть $N = \frac{mv^{2} \cos^{2} \alpha }{R}$). Из выражения (*), учитывая, что $\sin \alpha = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} } }$ и $\cos \alpha = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} } }$, находим установившуюся скорость движения кубика:
$v = \sqrt{Rg \sqrt{1 + \left ( \frac{h}{ 2 \pi R} \right )^{2} } \left ( \frac{h}{2 \pi R \mu} - 1 \right ) }$.
(Из полученного выражения видно, что кубик будет двигаться по желобу при условии $\mu < \frac{h}{2 \pi R}$.)
