Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1230
2016-10-20 
Четыре бесконечные плоскости, равномерно заряженные с поверхностной плотностью заряда $- \sigma$, пересекаются, образуя правильную пирамиду со стороной основания $a$ и боковым ребром $b$. В точку, лежащую на высоте этой пирамиды на расстоянии $h$ от основания, помещают маленький шарик массой $m$ с зарядом $+q$. Определите, с какой скоростью этот шарик ударится о пирамиду, если его отпустить без начальной скорости. Считайте, что заряды по плоскостям не перемещаются.
Решение:
рис.1
рис.2
Пусть $SABC$ — правильная пирамида, образованная пересечением четырёх бесконечных заряженных плоскостей, $SH$ — её высота, $SD$ — высота боковой грани $CSB$ (см. рис. 1). Поле, создаваемое каждой плоскостью, однородно, направлено по нормали к данной плоскости и по модулю равно $E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$. Так как пирамида правильная, то внутри пирамиды сумма проекций всех четырёх векторов напряжённости на плоскость основания $ABC$ равна нулю, а сумма проекций векторов напряжённости на высоту пирамиды $SH$ равна $E_{x} = E — 3E \sin \alpha$. Здесь $\alpha$ — угол между высотой пирамиды $SH$ и высотой любой из боковых граней пирамиды, ось $X$ направлена вдоль $SH$.
На рисунке 2 показан треугольник $ASD$, полученный в результате сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $AS$ и высоту $SD$ противолежащей ему боковой грани. Вектор $\vec{E}$ показывает напряжённость поля, создаваемого плоскостью, в которой лежит грань $BCS$, точка $O$ определяет положение заряда $q$. Аналогичный рисунок можно нарисовать для каждой из трёх боковых граней пирамиды. Из геометрических соображений следует, что
$\sin \alpha = \frac{DH}{DS} = \frac{ \frac{1}{3} \cdot DA}{ DS} = \frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} \cdot a}{ \sqrt{ b^{2} - \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}} = \frac{a}{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{ 4b^{2} - a^{2}}}$
то есть
$E_{x} = E(1 -3 \sin \alpha) = E(1 - \frac{ \sqrt{3} a}{ \sqrt{4b^{2} - a^{2}}}$.
Значит, в зависимости от соотношения между стороной основания $a$ и боковым ребром $b$, возможны три случая:
а) $E_{x} > 0$ — реализуется при $\sqrt{3} a < \sqrt{4b^{2}-a^{2}}$, откуда следует условие $b > a$. В этом случае шарик после того, как его отпустят, ударится о плоскость основания пирамиды. Так как поле однородно, то на шарик после его отпускания действует постоянная сила $F_{x} = qE_{x}$. Из закона сохранения энергии получаем: $\frac{mv^{2}}{2} = F_{x}h = qE_{x}h$, откуда
$v = \sqrt{ \frac{ \sigma qh}{m \epsilon_{0}} \left ( \frac{ \sqrt{3}a}{ \sqrt{4b^{2} - a^{2}}} \right ) }$ при $b > a$.
б) $E_{x} = 0$ — реализуется при $a = b$. В этом случае поле внутри пирамиды отсутствует, и шарик не будет двигаться, то есть $v = 0$.
в) $E_{x} < 0$ — реализуется при $\sqrt{3} a > \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$, откуда следует условие $b < a$. В этом случае шарик ударится о вершину пирамиды и закон сохранения энергии можно записать в виде:
$\frac{mv^{2}}{2} = -qE_{x}(SH - h)$.
С учётом того, что $SH = \sqrt {b^{2} - \frac{a^{3}}{3}}$ и $b > \frac{b}{ \sqrt{3}}$ (см. рис 2), получаем:
$v = \sqrt{ \frac{ \sigma q}{m \epsilon_{0}} \left ( \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{3}} - h \right ) \left ( \frac{ \sqrt{3}a}{ \sqrt{ 4b^{2} - a^{2}}} - 1 \right ) }$ при $\frac{a}{ \sqrt{3}} < b < a$.
Четыре бесконечные плоскости, равномерно заряженные с поверхностной плотностью заряда $- \sigma$, пересекаются, образуя правильную пирамиду со стороной основания $a$ и боковым ребром $b$. В точку, лежащую на высоте этой пирамиды на расстоянии $h$ от основания, помещают маленький шарик массой $m$ с зарядом $+q$. Определите, с какой скоростью этот шарик ударится о пирамиду, если его отпустить без начальной скорости. Считайте, что заряды по плоскостям не перемещаются.
Решение:
рис.1
рис.2
Пусть $SABC$ — правильная пирамида, образованная пересечением четырёх бесконечных заряженных плоскостей, $SH$ — её высота, $SD$ — высота боковой грани $CSB$ (см. рис. 1). Поле, создаваемое каждой плоскостью, однородно, направлено по нормали к данной плоскости и по модулю равно $E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$. Так как пирамида правильная, то внутри пирамиды сумма проекций всех четырёх векторов напряжённости на плоскость основания $ABC$ равна нулю, а сумма проекций векторов напряжённости на высоту пирамиды $SH$ равна $E_{x} = E — 3E \sin \alpha$. Здесь $\alpha$ — угол между высотой пирамиды $SH$ и высотой любой из боковых граней пирамиды, ось $X$ направлена вдоль $SH$.
На рисунке 2 показан треугольник $ASD$, полученный в результате сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $AS$ и высоту $SD$ противолежащей ему боковой грани. Вектор $\vec{E}$ показывает напряжённость поля, создаваемого плоскостью, в которой лежит грань $BCS$, точка $O$ определяет положение заряда $q$. Аналогичный рисунок можно нарисовать для каждой из трёх боковых граней пирамиды. Из геометрических соображений следует, что
$\sin \alpha = \frac{DH}{DS} = \frac{ \frac{1}{3} \cdot DA}{ DS} = \frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} \cdot a}{ \sqrt{ b^{2} - \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}} = \frac{a}{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{ 4b^{2} - a^{2}}}$
то есть
$E_{x} = E(1 -3 \sin \alpha) = E(1 - \frac{ \sqrt{3} a}{ \sqrt{4b^{2} - a^{2}}}$.
Значит, в зависимости от соотношения между стороной основания $a$ и боковым ребром $b$, возможны три случая:
а) $E_{x} > 0$ — реализуется при $\sqrt{3} a < \sqrt{4b^{2}-a^{2}}$, откуда следует условие $b > a$. В этом случае шарик после того, как его отпустят, ударится о плоскость основания пирамиды. Так как поле однородно, то на шарик после его отпускания действует постоянная сила $F_{x} = qE_{x}$. Из закона сохранения энергии получаем: $\frac{mv^{2}}{2} = F_{x}h = qE_{x}h$, откуда
$v = \sqrt{ \frac{ \sigma qh}{m \epsilon_{0}} \left ( \frac{ \sqrt{3}a}{ \sqrt{4b^{2} - a^{2}}} \right ) }$ при $b > a$.
б) $E_{x} = 0$ — реализуется при $a = b$. В этом случае поле внутри пирамиды отсутствует, и шарик не будет двигаться, то есть $v = 0$.
в) $E_{x} < 0$ — реализуется при $\sqrt{3} a > \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$, откуда следует условие $b < a$. В этом случае шарик ударится о вершину пирамиды и закон сохранения энергии можно записать в виде:
$\frac{mv^{2}}{2} = -qE_{x}(SH - h)$.
С учётом того, что $SH = \sqrt {b^{2} - \frac{a^{3}}{3}}$ и $b > \frac{b}{ \sqrt{3}}$ (см. рис 2), получаем:
$v = \sqrt{ \frac{ \sigma q}{m \epsilon_{0}} \left ( \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{3}} - h \right ) \left ( \frac{ \sqrt{3}a}{ \sqrt{ 4b^{2} - a^{2}}} - 1 \right ) }$ при $\frac{a}{ \sqrt{3}} < b < a$.
