2014-05-31
Мяч массой m бросают горизонтально с некоторой высоты над поверхностью земли так, что его полная энергия равна Е. С какой высоты и с какой скоростью надо бросить мяч, чтобы дальность броска была максимальной? Какова эта максимальная дальность? Потенциальная энергия мяча на поверхности земли равна нулю.
Решение:
В момент падения мяча на землю его потенциальная энергия равна нулю, следовательно, его скорость в конечной точке траектории есть
$v_{кин} = \sqrt{2E/m}$.
Рассмотрим все возможные траектории мяча с энергией $E$. Эти траектории будут различаться углом $\alpha_{кин}$ между направлением скорости $\bar {v_{кин}}$ и горизонталью. При этом начальная скорость броски
$v_{н}=v_{кин} \cos \alpha_{кин} = \sqrt{2E/m} \cos \alpha_{кин}$,
а начальная высота определяется из закона сохранения энергии
$E=mgh + m \frac{v^{2}_{н}}{2}=mgh + E \cos^{2} \alpha_{кин}$,
т.е.
$h= \frac{E}{mg} (1- \cos ^{2} \alpha_{кин})$.
Каждая такая траектория представляет собой параболу, причем точка броска будет находиться в вершине этой параболы. Очевидно, что дальность будет равна половине длины отрезка, который парабола отсекает от горизонтали.
Если мы обозначим дальность броска $L$, то $l = L_{0}/2$, где $L_{0}$ длина вышеупомянутого отрезка. Этот отрезок представляет собой не что иное, как дальность броска с начальной скоростью $v_{0}= v_{кин}$, под углом $\alpha_{0} = \alpha_{кин}$ с поверхности земли. Очевидно, что дальность $L_{0}$ будет максимальной при $\alpha_{0} = \alpha_{кин} =45^{\circ}$. При этом $L_{0}= \frac{2E}{mg}$.
Следовательно, искомые величины
$L=\frac{E}{mg},v=\sqrt{\frac{E}{m}},h=\frac{E}{2mg}$