Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12298
2019-12-31 
Электрическая батарея, использующая $\beta$ - радиоактивность, представляет собой металлическую сферу, внутри которой помещен изолированный от нее кусочек радиоактивного вещества (рис.). Ежесекундно распадаются $\nu$ атомов. Считая, что энергия электронов, образующихся при распаде, равновероятно распределена от минимального значения $W_{min}$ до максимального $W_{max}$, определить ЭДС батареи. Какой наибольший ток может давать такая батарея? До каких сопротивлений нагрузки батарею можно считать генератором тока?
Решение:
Пусть клеммы батареи замкнуты на нагрузку, и напряжение на клеммах равно $U$. Найдем ток, текущий через нагрузку, то есть установим вольтамперную характеристику батареи.
До сферы долетают электроны с энергией $W \geq eU$. В стационарном режиме (при постоянном $U$) заряд сферы остается неизменным. Следовательно, число электронов, попадающих ежесекундно на сферу, равно числу электронов, возвращающихся за это же время через нагрузку к кусочку радиоактивного вещества.
При $eU \leq W_{min}$ все электроны долетают до сферы, переносимый ими в единицу времени заряд и есть максимальный ток, который может давать такая батарея, то есть
$I_{max} = e \nu$.
При большем напряжении, когда $W_{min} < eU < W_{max}$, на сферу попадают только те электроны, энергия которых $W \geq eU$; эти электроны и определяют ток, текущий через нагрузку (остальные электроны возвращаются в центр сферы, минуя нагрузку). Доля этих электронов от общего числа электронов, вылетающих из кусочка радиоактивного вещества, равна
$n = \frac{W_{max} - eU }{W_{max} - W_{min} }$
(ввиду равномерного распределения электронов по энергии). Ток, текущий при этом через нагрузку, равен
$I = e \nu n = e \nu \frac{W_{max} - eU }{W_{max} - W_{min} }$.
Наибольшее напряжение $U_{max}$ на разомкнутых клеммах батареи (ЭДС батареи) определяется условием
$eU_{max} = W_{max} \Rightarrow U_{max} = \frac{W_{max} }{e}$.
Как только это напряжение достигнуто, заряд сферы и кусочка радиоактивного вещества перестают меняться.
При рисунке приведена зависимость тока от напряжения. На этом же графике изображены вольт-амперные характеристики нагрузки с сопротивлением $R$ (при различных значениях $R$). Ординаты и абсциссы точек пересечения графиков дают значении тока и напряжения в цепи при данном значении $R$. При
$R \leq R_{0} = \frac{W_{min} }{ e^{2} \nu }$
ток остается постоянным независимо от сопротивления нагрузки. При таких сопротивлениях батарею можно считать генератором тока.
Электрическая батарея, использующая $\beta$ - радиоактивность, представляет собой металлическую сферу, внутри которой помещен изолированный от нее кусочек радиоактивного вещества (рис.). Ежесекундно распадаются $\nu$ атомов. Считая, что энергия электронов, образующихся при распаде, равновероятно распределена от минимального значения $W_{min}$ до максимального $W_{max}$, определить ЭДС батареи. Какой наибольший ток может давать такая батарея? До каких сопротивлений нагрузки батарею можно считать генератором тока?
Решение:
Пусть клеммы батареи замкнуты на нагрузку, и напряжение на клеммах равно $U$. Найдем ток, текущий через нагрузку, то есть установим вольтамперную характеристику батареи.
До сферы долетают электроны с энергией $W \geq eU$. В стационарном режиме (при постоянном $U$) заряд сферы остается неизменным. Следовательно, число электронов, попадающих ежесекундно на сферу, равно числу электронов, возвращающихся за это же время через нагрузку к кусочку радиоактивного вещества.
При $eU \leq W_{min}$ все электроны долетают до сферы, переносимый ими в единицу времени заряд и есть максимальный ток, который может давать такая батарея, то есть
$I_{max} = e \nu$.
При большем напряжении, когда $W_{min} < eU < W_{max}$, на сферу попадают только те электроны, энергия которых $W \geq eU$; эти электроны и определяют ток, текущий через нагрузку (остальные электроны возвращаются в центр сферы, минуя нагрузку). Доля этих электронов от общего числа электронов, вылетающих из кусочка радиоактивного вещества, равна
$n = \frac{W_{max} - eU }{W_{max} - W_{min} }$
(ввиду равномерного распределения электронов по энергии). Ток, текущий при этом через нагрузку, равен
$I = e \nu n = e \nu \frac{W_{max} - eU }{W_{max} - W_{min} }$.
Наибольшее напряжение $U_{max}$ на разомкнутых клеммах батареи (ЭДС батареи) определяется условием
$eU_{max} = W_{max} \Rightarrow U_{max} = \frac{W_{max} }{e}$.
Как только это напряжение достигнуто, заряд сферы и кусочка радиоактивного вещества перестают меняться.
При рисунке приведена зависимость тока от напряжения. На этом же графике изображены вольт-амперные характеристики нагрузки с сопротивлением $R$ (при различных значениях $R$). Ординаты и абсциссы точек пересечения графиков дают значении тока и напряжения в цепи при данном значении $R$. При
$R \leq R_{0} = \frac{W_{min} }{ e^{2} \nu }$
ток остается постоянным независимо от сопротивления нагрузки. При таких сопротивлениях батарею можно считать генератором тока.
