Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12297
2019-12-31 
Стеклянный сосуд прямоугольного сечения установлен между двумя собирающими линзами с фокусными расстояниями $F$ перпендикулярно оптической оси линз (рис.). Точечный источник света $S$ расположен в фокальной плоскости линзы $Л_{1}$. Когда сосуд пустой, изображение источника наблюдается на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы $Л_{2}$. Сосуд заполняют прозрачной жидкостью, показатель преломления которой меняется с высотой по закону $n(y) = n_{0} + \alpha y$. Толщина слоя жидкости равна $L$. На сколько сместится по вертикали изображение источника на экране? Изменение показателя преломления с глубиной сосуда считать малым в пределах диаметра светового пучка.
Решение:
От точечного источника света $S$ распространяется сферическая волна, то есть фронт волны (поверхность постоянной фазы) имеет вид сферы с центром в точке $S$. После прохождения линзы $Л_{1}$ фронт становится плоским (поскольку точка $S$ находится в фокусе линзы $Л_{1}$). Плоскость фронта параллельна плоскости, в которой лежит линза, и боковым стенкам сосуда. Если бы сосуд был пустой, то после прохождения сосуда волновой фронт по-прежнему был бы параллелен стенкам сосуда. На линзу Л3 падал бы пучок лучей, параллельных главной оси линзы, и изображение источника $S$ находилось бы в правом фокусе линзы.
Когда сосуд заполнен жидкостью с меняющимся (по высоте) показателем преломления, ориентация волнового фронта в пространстве после прохождения сосуда меняется. Для нахождения фронта в этом случае воспользуемся принципом Гюйгенса - Френеля. Согласно этому принципу фронт после прохождения светом сосуда будет представлять собой огибающую вторичных волн, источники которых лежат на левой боковой стенке сосуда.
Найдем положение фронта в тот момент времени, когда вторичные волны от источников, лежащих на левой стенке сосуда, на высоте $h$ от его дна (рис.), достигнут правой стенки сосуда. Время $t$, за которое эти волны пройдут расстояние $L$, равно
$t = \frac{L}{ \frac{c}{n} } = L \frac{n_{0} + \alpha h }{c}$,
где $c$ - скорость света в вакууме, $n(h) = n_{0} + \alpha h$ - показатель преломления в жидкости на высоте $y = h$. То же расстояние $L$ волны, распространяющиеся от источников, лежащих на левой стенке сосуда, на высоте $y < h$, пройдут за время
$t_{1} = L \frac{n_{0} + \alpha y}{c} < t$
(мы считаем, что $\alpha > 0$). Следовательно, за время $t$ эти волны распространятся вправо от сосуда на расстояние
$l(y) = (t - t_{1})c = L \alpha (h - y)$,
Величина $l(y)$ является линейной функцией $y$. Следовательно, после прохождения светом сосуда огибающая вторичных волн, то есть волновой фронт, будет представлять собой плоскость, наклоненную к боковой стенке сосуда под углом таким, что (см. рис.)
$tg \phi = \frac{l(y)}{h - y} = L \alpha$.
Таким образом, на линзу $Л_{2}$ будет падать пучок параллельных лучей, наклоненных пол углом $\phi$ к оптической оси линзы. Изображение источника $S$ будет получаться в фокальной плоскости линзы $Л_{2}$ на расстоянии
$\delta = F tg \phi = FL \alpha$
от оси линзы. При $a < 0$ изображение будет на столько же смещено вниз от оси.
Стеклянный сосуд прямоугольного сечения установлен между двумя собирающими линзами с фокусными расстояниями $F$ перпендикулярно оптической оси линз (рис.). Точечный источник света $S$ расположен в фокальной плоскости линзы $Л_{1}$. Когда сосуд пустой, изображение источника наблюдается на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы $Л_{2}$. Сосуд заполняют прозрачной жидкостью, показатель преломления которой меняется с высотой по закону $n(y) = n_{0} + \alpha y$. Толщина слоя жидкости равна $L$. На сколько сместится по вертикали изображение источника на экране? Изменение показателя преломления с глубиной сосуда считать малым в пределах диаметра светового пучка.
Решение:
От точечного источника света $S$ распространяется сферическая волна, то есть фронт волны (поверхность постоянной фазы) имеет вид сферы с центром в точке $S$. После прохождения линзы $Л_{1}$ фронт становится плоским (поскольку точка $S$ находится в фокусе линзы $Л_{1}$). Плоскость фронта параллельна плоскости, в которой лежит линза, и боковым стенкам сосуда. Если бы сосуд был пустой, то после прохождения сосуда волновой фронт по-прежнему был бы параллелен стенкам сосуда. На линзу Л3 падал бы пучок лучей, параллельных главной оси линзы, и изображение источника $S$ находилось бы в правом фокусе линзы.
Когда сосуд заполнен жидкостью с меняющимся (по высоте) показателем преломления, ориентация волнового фронта в пространстве после прохождения сосуда меняется. Для нахождения фронта в этом случае воспользуемся принципом Гюйгенса - Френеля. Согласно этому принципу фронт после прохождения светом сосуда будет представлять собой огибающую вторичных волн, источники которых лежат на левой боковой стенке сосуда.
Найдем положение фронта в тот момент времени, когда вторичные волны от источников, лежащих на левой стенке сосуда, на высоте $h$ от его дна (рис.), достигнут правой стенки сосуда. Время $t$, за которое эти волны пройдут расстояние $L$, равно
$t = \frac{L}{ \frac{c}{n} } = L \frac{n_{0} + \alpha h }{c}$,
где $c$ - скорость света в вакууме, $n(h) = n_{0} + \alpha h$ - показатель преломления в жидкости на высоте $y = h$. То же расстояние $L$ волны, распространяющиеся от источников, лежащих на левой стенке сосуда, на высоте $y < h$, пройдут за время
$t_{1} = L \frac{n_{0} + \alpha y}{c} < t$
(мы считаем, что $\alpha > 0$). Следовательно, за время $t$ эти волны распространятся вправо от сосуда на расстояние
$l(y) = (t - t_{1})c = L \alpha (h - y)$,
Величина $l(y)$ является линейной функцией $y$. Следовательно, после прохождения светом сосуда огибающая вторичных волн, то есть волновой фронт, будет представлять собой плоскость, наклоненную к боковой стенке сосуда под углом таким, что (см. рис.)
$tg \phi = \frac{l(y)}{h - y} = L \alpha$.
Таким образом, на линзу $Л_{2}$ будет падать пучок параллельных лучей, наклоненных пол углом $\phi$ к оптической оси линзы. Изображение источника $S$ будет получаться в фокальной плоскости линзы $Л_{2}$ на расстоянии
$\delta = F tg \phi = FL \alpha$
от оси линзы. При $a < 0$ изображение будет на столько же смещено вниз от оси.
