Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12295
2019-12-31 
Частицы движутся гуськом с постоянными скоростями Скорости частиц равномерно возрастают от значения $v_{1}$ в голове колонны до значения $v_{2}$ в хвосте колонны. В некоторый момент частицы занимают отрезок длины $l_{0}$ и при этом на единицу длины приходится $n_{0}$ частиц. Сколько частиц спустя время $t$ будет приходиться на единицу длины в хвосте колонны? в голове колонны?
Решение:
Пусть частицы занимают отрезок длины $l_{0}$ в момент времени 0. За время $t$ частица и голове колонии совершит перемещение $v_{1}t$, а частица в хвосте колонны - $v_{2}t$ (рис.). Задние частицы движутся быстрое и нагоняют частицы в начале колонны. Расстояние между самой первой и последней частицей сократится за время $t$ на $(v_{2} - v_{1})t$ и станет равным
$l = l_{0} - (v_{2} - v_{1})t$.
Сокращение длины отрезка, занимаемого всеми частицами, определяется разностью скоростей частиц в конце и в начале этого отрезка. Это же справедливо для промежутка между любыми двумя частицами колонны.
Пусть в начальный момент времени какие-то две частицы находятся на расстоянии $\Delta x_{0}$. Тогда разность их скоростей равна
$\Delta v = \frac{(v_{2} - v_{1} ) }{t_{0} } \Delta x_{0}$
(так как скорости частиц равномерно возрастают к хвосту колонны). Расстояние между частицами за время $t$ сократится на $\Delta v t$ и станет равным
$\Delta x = \Delta x_{0} - \Delta v t = \left ( 1 - \frac{(v_{2} - v_{1} )t }{l_{0} } \right ) \Delta x_{0}$.
Как видим, расстояния между любыми двумя частицами сокращаются с течением времени в одно и то же число раз: поэтому частицы остаются распределенными вдоль колонны равномерно. Иначе говоря, число $n$ частиц, приходящихся на единицу длины колонны, одинаково в любом ее месте, как было и в начальный момент.
Чтобы найти $n$, поделим полное число частиц $n_{0}l_{0}$ на длину колонны в момент времени $t$:
$n = \frac{n_{0}l_{0} }{l_{0} - (v_{2} - v_{1} )t } = \frac{n_{0} }{1 - \frac{ (v_{2} - v_{1} )t }{l_{0} } }$.
На рисунке приведена зависимость $n(t)$. При приближении времени к моменту $t_{0}= \frac{l_{0}}{v_{2} - v_{1}}$ концентрация $n$ частиц неограниченно возрастает и при $t > t_{0}$ меняет знак, уменьшаясь в дальнейшем по абсолютному значению. Такое поведение $n(l)$ нетрудно понять: к моменту времени $t_{0}$ все частицы соберутся в одну точку - это и соответствует бесконечной концентрации; после этого, когда задние частицы обгонят передние, изменится порядок следовании частиц - об этом и говорит изменение знака $n$.
Частицы движутся гуськом с постоянными скоростями Скорости частиц равномерно возрастают от значения $v_{1}$ в голове колонны до значения $v_{2}$ в хвосте колонны. В некоторый момент частицы занимают отрезок длины $l_{0}$ и при этом на единицу длины приходится $n_{0}$ частиц. Сколько частиц спустя время $t$ будет приходиться на единицу длины в хвосте колонны? в голове колонны?
Решение:
Пусть частицы занимают отрезок длины $l_{0}$ в момент времени 0. За время $t$ частица и голове колонии совершит перемещение $v_{1}t$, а частица в хвосте колонны - $v_{2}t$ (рис.). Задние частицы движутся быстрое и нагоняют частицы в начале колонны. Расстояние между самой первой и последней частицей сократится за время $t$ на $(v_{2} - v_{1})t$ и станет равным
$l = l_{0} - (v_{2} - v_{1})t$.
Сокращение длины отрезка, занимаемого всеми частицами, определяется разностью скоростей частиц в конце и в начале этого отрезка. Это же справедливо для промежутка между любыми двумя частицами колонны.
Пусть в начальный момент времени какие-то две частицы находятся на расстоянии $\Delta x_{0}$. Тогда разность их скоростей равна
$\Delta v = \frac{(v_{2} - v_{1} ) }{t_{0} } \Delta x_{0}$
(так как скорости частиц равномерно возрастают к хвосту колонны). Расстояние между частицами за время $t$ сократится на $\Delta v t$ и станет равным
$\Delta x = \Delta x_{0} - \Delta v t = \left ( 1 - \frac{(v_{2} - v_{1} )t }{l_{0} } \right ) \Delta x_{0}$.
Как видим, расстояния между любыми двумя частицами сокращаются с течением времени в одно и то же число раз: поэтому частицы остаются распределенными вдоль колонны равномерно. Иначе говоря, число $n$ частиц, приходящихся на единицу длины колонны, одинаково в любом ее месте, как было и в начальный момент.
Чтобы найти $n$, поделим полное число частиц $n_{0}l_{0}$ на длину колонны в момент времени $t$:
$n = \frac{n_{0}l_{0} }{l_{0} - (v_{2} - v_{1} )t } = \frac{n_{0} }{1 - \frac{ (v_{2} - v_{1} )t }{l_{0} } }$.
На рисунке приведена зависимость $n(t)$. При приближении времени к моменту $t_{0}= \frac{l_{0}}{v_{2} - v_{1}}$ концентрация $n$ частиц неограниченно возрастает и при $t > t_{0}$ меняет знак, уменьшаясь в дальнейшем по абсолютному значению. Такое поведение $n(l)$ нетрудно понять: к моменту времени $t_{0}$ все частицы соберутся в одну точку - это и соответствует бесконечной концентрации; после этого, когда задние частицы обгонят передние, изменится порядок следовании частиц - об этом и говорит изменение знака $n$.
