Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12294
2019-12-31 
Параллельный пучок света рассеивается, проходя пластинку П. Для любого луча, проходящего пластинку, максимальный угол отклонения от первоначального направления равен $\alpha$. Каков наименьший радиус светлого пятна, которое можно получить, поставив за пластинкой собирающую линзу Л с фокусным расстоянием $F$ (рис.)?
Решение:
Найдем границу освещенной области за линзой. Ее характер зависит от размера линзы (радиуса апертуры), от радиусов светового пучка и от расстояния между пластиной и линзой. Пусть эти параметры равны соответственно $r, R$ и $s$.
При $r > R + s tg \alpha$ все рассеянные пластинкой лучи попадают на линзу (рис.). За линзой границу освещенной области образуют лучи $1^{ \prime}$ и $4^{ \prime}$ (результат преломления лучей 1 и 4, определяющих границу падающего на линзу рассеянного пучка). Точки излома границы ниже оси обозначим А, В, С. Точка А находится в плоскости линзы на расстоянии $R + s tg \alpha$ от оси. Точка В - точка пересечения лучей $1^{ \prime}$ и $3^{ \prime}$ - находится в фокальной плоскости, так как лучи 1 и 3, падающие на линзу, параллельны. Расстояние от точки В до оси равно $F tg \alpha$. Точка С - точка пересечения лучей $3^{ \prime}$ и $4^{ \prime}$ - лежит в плоскости четкого изображения рассеивающей пластинки, так как здесь собираются вышедшие из одной точки пластинки лучи. Таким образом, точка С - изображение точки, находящейся на расстоянии $R$ от оси и на расстоянии $s$ от плоскости линзы. Поэтому расстояние от С до оси равно $\frac{RF}{s - F}$ (рассчитайте это сами).
Наименьшее пятно лежит в плоскости наиболее близкого к оси излома; поэтому его радиус равен минимальному из расстояний $R + s tg \alpha, F tg \alpha$ и $\frac{RF}{s-F}$. Соответственно, экран должен располагаться или вплотную к линзе, или в фокальной плоскости, или в плоскости четкого изображения пластинки. Отметим, что при $s < F$ лучи $3^{ \prime}$ и $4^{ \prime}$ за линзой не пересекаются (изображение пластинки мнимое) и остаются лишь изломы А и В.
При $r < R - s tg \alpha$ границу освещенной области за линзой образуют "предельные" лучи, проходящие через края линзы (рис.). Изломы границы находятся в плоскости линзы иа расстоянии $r$ от оси (точка $A_{1}$) и в фокальной плоскости, как и раньше на расстоянии $F tg \alpha$ (точка $B_{1}$) Больше изломов нет. Минимальное из значений $r$ и $F tg \alpha$ дает радиус наименьшего пятна.
Наконец, в промежуточном случае $R + s tg \alpha > r > R - s tg \alpha$ (рис.) изломы границы лежат в плоскости линзы, в фокальной плоскости и в плоскости четкого изображения пластинки на расстояниях $r, F tg \alpha$ и $\frac{RF}{s - F}$ соответственно.
При достаточно малом $\alpha$ во всех этих случаях наименьшее пятно получится в фокальной плоскости, причем радиус этого пятна $F tg \alpha$ не зависит ни от радиуса первоначального пучка, ни от диаметра линзы. Интересно, что подобное сжатие пучка вблизи фокальной плоскости - его называют кроссовер - используется в электронном осциллографе для формирования узкого концентрированного электронного пучка.
Параллельный пучок света рассеивается, проходя пластинку П. Для любого луча, проходящего пластинку, максимальный угол отклонения от первоначального направления равен $\alpha$. Каков наименьший радиус светлого пятна, которое можно получить, поставив за пластинкой собирающую линзу Л с фокусным расстоянием $F$ (рис.)?
Решение:
Найдем границу освещенной области за линзой. Ее характер зависит от размера линзы (радиуса апертуры), от радиусов светового пучка и от расстояния между пластиной и линзой. Пусть эти параметры равны соответственно $r, R$ и $s$.
При $r > R + s tg \alpha$ все рассеянные пластинкой лучи попадают на линзу (рис.). За линзой границу освещенной области образуют лучи $1^{ \prime}$ и $4^{ \prime}$ (результат преломления лучей 1 и 4, определяющих границу падающего на линзу рассеянного пучка). Точки излома границы ниже оси обозначим А, В, С. Точка А находится в плоскости линзы на расстоянии $R + s tg \alpha$ от оси. Точка В - точка пересечения лучей $1^{ \prime}$ и $3^{ \prime}$ - находится в фокальной плоскости, так как лучи 1 и 3, падающие на линзу, параллельны. Расстояние от точки В до оси равно $F tg \alpha$. Точка С - точка пересечения лучей $3^{ \prime}$ и $4^{ \prime}$ - лежит в плоскости четкого изображения рассеивающей пластинки, так как здесь собираются вышедшие из одной точки пластинки лучи. Таким образом, точка С - изображение точки, находящейся на расстоянии $R$ от оси и на расстоянии $s$ от плоскости линзы. Поэтому расстояние от С до оси равно $\frac{RF}{s - F}$ (рассчитайте это сами).
Наименьшее пятно лежит в плоскости наиболее близкого к оси излома; поэтому его радиус равен минимальному из расстояний $R + s tg \alpha, F tg \alpha$ и $\frac{RF}{s-F}$. Соответственно, экран должен располагаться или вплотную к линзе, или в фокальной плоскости, или в плоскости четкого изображения пластинки. Отметим, что при $s < F$ лучи $3^{ \prime}$ и $4^{ \prime}$ за линзой не пересекаются (изображение пластинки мнимое) и остаются лишь изломы А и В.
При $r < R - s tg \alpha$ границу освещенной области за линзой образуют "предельные" лучи, проходящие через края линзы (рис.). Изломы границы находятся в плоскости линзы иа расстоянии $r$ от оси (точка $A_{1}$) и в фокальной плоскости, как и раньше на расстоянии $F tg \alpha$ (точка $B_{1}$) Больше изломов нет. Минимальное из значений $r$ и $F tg \alpha$ дает радиус наименьшего пятна.
Наконец, в промежуточном случае $R + s tg \alpha > r > R - s tg \alpha$ (рис.) изломы границы лежат в плоскости линзы, в фокальной плоскости и в плоскости четкого изображения пластинки на расстояниях $r, F tg \alpha$ и $\frac{RF}{s - F}$ соответственно.
При достаточно малом $\alpha$ во всех этих случаях наименьшее пятно получится в фокальной плоскости, причем радиус этого пятна $F tg \alpha$ не зависит ни от радиуса первоначального пучка, ни от диаметра линзы. Интересно, что подобное сжатие пучка вблизи фокальной плоскости - его называют кроссовер - используется в электронном осциллографе для формирования узкого концентрированного электронного пучка.
