Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12292
2019-12-31 
Веревка, прикрепленная одним концом, к боковой поверхности цилиндра у его основания радиуса $r$, обмотана вокруг цилиндра $k$ раз ($k$ - целое число). К свободному концу веревки привязан груз. Грузу сообщают скорость $v$, направленную вдоль радиуса цилиндра (рис.). За какое время вся веревка снова намотается на цилиндр? Цилиндр закреплен на гладкой поверхности.
Решение:
Сила натяжения веревки, действующая на груз, направлена перпендикулярно скорости груза. Следовательно, абсолютная величина скорости груза остается постоянной и равной $v$.
Рассмотрим движение в тот момент, когда веревка полностью смоталась с цилиндра и груз находится в точке $C$ (рис.). За малый промежуток времени $\Delta l$ груз переместится в точку $C^{ \prime}$. Поскольку $\Delta l$ мало, угол $\alpha$, на который повернется вся веревка, мал и
$\alpha = \frac{v \Delta t}{l} = \frac{ \Delta l}{r} \Rightarrow rv \Delta t = l \Delta l = \Delta \left ( \frac{l^{2} }{2} \right )$.
Из последнего равенства находим время, в течение которого вся веревка длины $l$ намотается на цилиндр: $t = \frac{l^{2} }{2rv}$. За такое же время веревка сматывается с цилиндра, и груз оказывается в точке $B$ (см. рис.). Время, за которое груз перемешается из точки $B$ в точку $C$, равно $t = \frac{ \pi l }{v}$.
Таким образом, полное время, за которое веревка длины $l = 2 \pi rk$ смотается с цилиндра и вновь намотается на него, равно
$T = 2l + \tau = \frac{4 \pi^{2}k^{2}r }{v} + \frac{2 \pi^{2}rk }{v} = \frac{2 \pi^{2}kr }{v} (2k + 1)$.
Веревка, прикрепленная одним концом, к боковой поверхности цилиндра у его основания радиуса $r$, обмотана вокруг цилиндра $k$ раз ($k$ - целое число). К свободному концу веревки привязан груз. Грузу сообщают скорость $v$, направленную вдоль радиуса цилиндра (рис.). За какое время вся веревка снова намотается на цилиндр? Цилиндр закреплен на гладкой поверхности.
Решение:
Сила натяжения веревки, действующая на груз, направлена перпендикулярно скорости груза. Следовательно, абсолютная величина скорости груза остается постоянной и равной $v$.
Рассмотрим движение в тот момент, когда веревка полностью смоталась с цилиндра и груз находится в точке $C$ (рис.). За малый промежуток времени $\Delta l$ груз переместится в точку $C^{ \prime}$. Поскольку $\Delta l$ мало, угол $\alpha$, на который повернется вся веревка, мал и
$\alpha = \frac{v \Delta t}{l} = \frac{ \Delta l}{r} \Rightarrow rv \Delta t = l \Delta l = \Delta \left ( \frac{l^{2} }{2} \right )$.
Из последнего равенства находим время, в течение которого вся веревка длины $l$ намотается на цилиндр: $t = \frac{l^{2} }{2rv}$. За такое же время веревка сматывается с цилиндра, и груз оказывается в точке $B$ (см. рис.). Время, за которое груз перемешается из точки $B$ в точку $C$, равно $t = \frac{ \pi l }{v}$.
Таким образом, полное время, за которое веревка длины $l = 2 \pi rk$ смотается с цилиндра и вновь намотается на него, равно
$T = 2l + \tau = \frac{4 \pi^{2}k^{2}r }{v} + \frac{2 \pi^{2}rk }{v} = \frac{2 \pi^{2}kr }{v} (2k + 1)$.
