Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12291
2019-12-31 
На "полуцилиндре" c радиусом основания $R$ лежит гантелька длины $l$ (рис.). Найти период малых колебаний гантельки.
Решение:
Пусть гантелька повернута на малый угол $\alpha$ относительно положения равновесия (рис.), точка В - точка касания стержня с полуцилиндром; $\hat{AOB} = \alpha$ (поверхность полуцилиндра шероховатая, и гантелька не проскальзывает). Возникающие при этом моменты сил стремятся вернуть гантельку в положение равновесия. Поскольку угол а мал, можно считать, что шарики гантельки будут двигаться по дугам окружностей радиусов
$r_{1} \approx \frac{l}{2} - |AB| = \frac{l}{2} - R \alpha, r_{2} = \frac{l}{2} + R \alpha$.
Скорости шариков будут равны, соответственно.
$v_{1} = x_{1}^{ \prime} = (r_{1} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} - 2 R \alpha \right )$,
$v_{2} = x_{2}^{ \prime} = (r_{2} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} + 2 R \alpha \right )$.
Полная энергия гантельки остается постоянной и равной ее потенциальной энергии $\Pi_{0}$ в момент максимального отклонения от положения равновесия. Когда гантелька отклонена на угол $\alpha$ от положения равновесия, ее энергия равна
$\Pi + K = mg(R + x_{2}) + mg(R - x_{1}) + \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} = m \frac{l^{2} ( \alpha^{ \prime} )^{2} }{4} + 2mgR \left ( 1 + \frac{ \alpha^{2} }{2} \right ) = \Pi_{0}$
($m$ - масса каждого шарика; стержень считаем невесомым; вычисляя $v_{1}^{2}$ и $v_{2}^{2}$ мы пренебрегли членами порядка $\alpha^{2} ( \alpha^{ \prime} )^{2}$). Продифференцируем полученное равенство:
$\frac{ml^{2} \alpha^{ \prime} \alpha^{ \prime \prime} }{2} + 2mgR \alpha \alpha^{ \prime} = 0$,
откуда
$\alpha^{ \prime \prime} = - \frac{4 gR}{l^{2} } \alpha$.
Полученное уравнение является уравнением гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{4gR}{l^{2} } }$. Следовательно, период малых колебаний гантельки равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} =nl \sqrt{ \frac{l}{gR} }$.
На "полуцилиндре" c радиусом основания $R$ лежит гантелька длины $l$ (рис.). Найти период малых колебаний гантельки.
Решение:
Пусть гантелька повернута на малый угол $\alpha$ относительно положения равновесия (рис.), точка В - точка касания стержня с полуцилиндром; $\hat{AOB} = \alpha$ (поверхность полуцилиндра шероховатая, и гантелька не проскальзывает). Возникающие при этом моменты сил стремятся вернуть гантельку в положение равновесия. Поскольку угол а мал, можно считать, что шарики гантельки будут двигаться по дугам окружностей радиусов
$r_{1} \approx \frac{l}{2} - |AB| = \frac{l}{2} - R \alpha, r_{2} = \frac{l}{2} + R \alpha$.
Скорости шариков будут равны, соответственно.
$v_{1} = x_{1}^{ \prime} = (r_{1} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} - 2 R \alpha \right )$,
$v_{2} = x_{2}^{ \prime} = (r_{2} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} + 2 R \alpha \right )$.
Полная энергия гантельки остается постоянной и равной ее потенциальной энергии $\Pi_{0}$ в момент максимального отклонения от положения равновесия. Когда гантелька отклонена на угол $\alpha$ от положения равновесия, ее энергия равна
$\Pi + K = mg(R + x_{2}) + mg(R - x_{1}) + \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} = m \frac{l^{2} ( \alpha^{ \prime} )^{2} }{4} + 2mgR \left ( 1 + \frac{ \alpha^{2} }{2} \right ) = \Pi_{0}$
($m$ - масса каждого шарика; стержень считаем невесомым; вычисляя $v_{1}^{2}$ и $v_{2}^{2}$ мы пренебрегли членами порядка $\alpha^{2} ( \alpha^{ \prime} )^{2}$). Продифференцируем полученное равенство:
$\frac{ml^{2} \alpha^{ \prime} \alpha^{ \prime \prime} }{2} + 2mgR \alpha \alpha^{ \prime} = 0$,
откуда
$\alpha^{ \prime \prime} = - \frac{4 gR}{l^{2} } \alpha$.
Полученное уравнение является уравнением гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{4gR}{l^{2} } }$. Следовательно, период малых колебаний гантельки равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} =nl \sqrt{ \frac{l}{gR} }$.
