Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1229
2016-10-20 
Тонкое жёсткое диэлектрическое кольцо массой $m$ и радиусом $R$ может свободно вращаться вокруг фиксированной вертикальной оси $O$, перпендикулярной плоскости кольца (см. рисунок). Кольцо равномерно заряжено по длине, его заряд равен $Q$. Небольшой кусок кольца в области точки А вырезан так, что получился зазор длиной $l \ll R$. В начальный момент кольцо покоилось, после чего было включено однородное электрическое поле $\vec{E}$, перпендикулярное оси кольца и прямой $OA$. Найдите максимальную угловую скорость кольца.
Решение:
Разрезанное кольцо можно представить как суперпозицию целого кольца, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда $\lambda = \frac{Q}{2 \pi R}$, и прикреплённого к нему в точке А точечного заряда $q = - \lambda l = - \frac{Ql}{2 \pi R}$. После включения электрического поля кольцо начнёт поворачиваться вокруг оси так, что точка А будет двигаться в направлении точки B, которая лежит на линии, проходящей через точку О параллельно силовым линиям $\vec{E}$ (см. рис.). В этой точке угловая скорость кольца и будет максимальной. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии плоскость, проходящую через точку В перпендикулярно к силовым линиям. Так как потенциал $\phi$ в однородном электростатическом поле линейно убывает с расстоянием при движении в направлении вдоль силовых линий, то закон сохранения механической энергии для вращения кольца можно записать в виде:
$\frac{mv^{2}}{2} = q ( \phi_{A} - \phi_{B}) = - \frac{Ql}{2 \pi R} \cdot (-ER) = \frac{QlE}{2 \pi}$,
где $v$ — максимальная линейная скорость точек кольца. Отсюда искомая максимальная угловая скорость кольца $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{ \frac{QlE}{ \pi m R^{2}}}$.
Тонкое жёсткое диэлектрическое кольцо массой $m$ и радиусом $R$ может свободно вращаться вокруг фиксированной вертикальной оси $O$, перпендикулярной плоскости кольца (см. рисунок). Кольцо равномерно заряжено по длине, его заряд равен $Q$. Небольшой кусок кольца в области точки А вырезан так, что получился зазор длиной $l \ll R$. В начальный момент кольцо покоилось, после чего было включено однородное электрическое поле $\vec{E}$, перпендикулярное оси кольца и прямой $OA$. Найдите максимальную угловую скорость кольца.
Решение:
Разрезанное кольцо можно представить как суперпозицию целого кольца, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда $\lambda = \frac{Q}{2 \pi R}$, и прикреплённого к нему в точке А точечного заряда $q = - \lambda l = - \frac{Ql}{2 \pi R}$. После включения электрического поля кольцо начнёт поворачиваться вокруг оси так, что точка А будет двигаться в направлении точки B, которая лежит на линии, проходящей через точку О параллельно силовым линиям $\vec{E}$ (см. рис.). В этой точке угловая скорость кольца и будет максимальной. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии плоскость, проходящую через точку В перпендикулярно к силовым линиям. Так как потенциал $\phi$ в однородном электростатическом поле линейно убывает с расстоянием при движении в направлении вдоль силовых линий, то закон сохранения механической энергии для вращения кольца можно записать в виде:
$\frac{mv^{2}}{2} = q ( \phi_{A} - \phi_{B}) = - \frac{Ql}{2 \pi R} \cdot (-ER) = \frac{QlE}{2 \pi}$,
где $v$ — максимальная линейная скорость точек кольца. Отсюда искомая максимальная угловая скорость кольца $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{ \frac{QlE}{ \pi m R^{2}}}$.
