Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12288
2019-12-31 
Равномерно заряженный по поверхности лист из диэлектрика, имеющий форму равнобедренного прямоугольного треугольника, сложили пополам. При этом была совершена работа $A$ против сил электростатического поля. Какую работу надо совершить, чтобы сложить пополам полученный треугольник?
Решение:
Пусть $Q$ - заряд на поверхности начального (не сложенного ни разу) треугольника площади $S$, $A_{0}$ - электростатическая энергия, которой обладает этот заряд. Эта энергия складывается из электростатических энергий попарного взаимодействия отдельных заряженных участков треугольника.
Рассмотрим два малых участка $m$ и $n$ треугольника, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга (см. рис.). Пусть $s$ - площадь каждого участка; заряд каждого участка, очевидно, равен $q = \frac{Q}{S}s$. Электростатическая энергия взаимодействия этих участков
$A_{0} \sim \frac{q^{2} }{r} = Q^{2} \frac{s}{Sr}$.
Посмотрим, как изменится эта энергия после первого сложения треугольника. Из рисунка видно, что на сложенном треугольнике участки, подобные $m$ и $n$, - это участки $m_{1}$ и $n_{1}$. Заряд на сложенном треугольнике будет по-прежнему $Q$, площадь треугольника станет $S_{1} = S/2$, расстояние между площадками, как нетрудно понять, станет $r_{1} = r/ \sqrt{2}$, а площади их - $s_{1} = s/2$. Таким образом, энергия взаимодействия площадок станет
$A_{1} \sim \frac{q_{1}^{2} }{r_{1} } = Q^{2} \frac{s_{1} }{Sr_{1} } = a_{0} \sqrt{2}$.
Поскольку те же рассуждения относятся к любой паре площадок, электростатическая энергия сложенного заряженного треугольника станет
$A_{1} = A_{0} \sqrt{2}$.
Изменение энергии $\Delta A_{1} = A_{1} - A_{0}$ равно работе $A$, затраченной при сложении треугольника, то есть
$A_{1} - A_{0} = A_{0}( \sqrt{2} - 1) = A$
При повторном сложении треугольника его электростатическая энергия станет
$A_{2} = A_{1} \sqrt{2}$.
Изменение энергии $\Delta A_{2} = A_{2} - A_{1}$ равно работе $A_{x}$, которую затратили при сложении. Таким образом,
$A_{x} = A_{2} - A_{1} = A( \sqrt{2} - 1)= A_{0} \sqrt{2} ( \sqrt{2} - 1) = A \sqrt{2}$.
Равномерно заряженный по поверхности лист из диэлектрика, имеющий форму равнобедренного прямоугольного треугольника, сложили пополам. При этом была совершена работа $A$ против сил электростатического поля. Какую работу надо совершить, чтобы сложить пополам полученный треугольник?
Решение:
Пусть $Q$ - заряд на поверхности начального (не сложенного ни разу) треугольника площади $S$, $A_{0}$ - электростатическая энергия, которой обладает этот заряд. Эта энергия складывается из электростатических энергий попарного взаимодействия отдельных заряженных участков треугольника.
Рассмотрим два малых участка $m$ и $n$ треугольника, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга (см. рис.). Пусть $s$ - площадь каждого участка; заряд каждого участка, очевидно, равен $q = \frac{Q}{S}s$. Электростатическая энергия взаимодействия этих участков
$A_{0} \sim \frac{q^{2} }{r} = Q^{2} \frac{s}{Sr}$.
Посмотрим, как изменится эта энергия после первого сложения треугольника. Из рисунка видно, что на сложенном треугольнике участки, подобные $m$ и $n$, - это участки $m_{1}$ и $n_{1}$. Заряд на сложенном треугольнике будет по-прежнему $Q$, площадь треугольника станет $S_{1} = S/2$, расстояние между площадками, как нетрудно понять, станет $r_{1} = r/ \sqrt{2}$, а площади их - $s_{1} = s/2$. Таким образом, энергия взаимодействия площадок станет
$A_{1} \sim \frac{q_{1}^{2} }{r_{1} } = Q^{2} \frac{s_{1} }{Sr_{1} } = a_{0} \sqrt{2}$.
Поскольку те же рассуждения относятся к любой паре площадок, электростатическая энергия сложенного заряженного треугольника станет
$A_{1} = A_{0} \sqrt{2}$.
Изменение энергии $\Delta A_{1} = A_{1} - A_{0}$ равно работе $A$, затраченной при сложении треугольника, то есть
$A_{1} - A_{0} = A_{0}( \sqrt{2} - 1) = A$
При повторном сложении треугольника его электростатическая энергия станет
$A_{2} = A_{1} \sqrt{2}$.
Изменение энергии $\Delta A_{2} = A_{2} - A_{1}$ равно работе $A_{x}$, которую затратили при сложении. Таким образом,
$A_{x} = A_{2} - A_{1} = A( \sqrt{2} - 1)= A_{0} \sqrt{2} ( \sqrt{2} - 1) = A \sqrt{2}$.
