ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-12-31   
При наблюдении в облаке за падением капли, которая увеличивается в размерах, поглощая мельчайшие капельки, встречающиеся на ее пути, было установлено, что капля движется все время с постоянным ускорением. Определите это ускорение, считая начальный размер капли малым. Сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.


Решение:


Изменение импульса падающей капли переменной массы за малое время $\Delta t$ равно

$\Delta (mv) = mg \Delta t$. (1)

По условию задачи изменение массы капли за время $\Delta t$ равно

$\Delta m = \alpha \rho v_{ср} s \Delta t$, (2)

где $\rho$ - плотность воды, $v_{ср}$ - средняя скорость капли за время $\Delta t$, $s = 4 \pi r^{2}$ - площадь поверхности капли, $\alpha$ - безразмерный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, поскольку $m = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$ ($r$ - радиус капли),

$\Delta m = 4 \pi r^{2} \rho \Delta r = s \rho \Delta r$.

Если за время $\Delta t$ капля проходит расстояние $\Delta y$, то $\Delta t = \frac{ \Delta y}{v_{ср}}$. Подставив выражения для $\Delta m$ и $\Delta t$ в (2), получим

$\Delta r = \alpha \Delta y \sim \Delta y$.

Следовательно, радиус капли растет пропорционально пройденному пути, то есть $r \sim t$.

Поскольку капля движется с постоянным ускорением $a$, $y = at^{2}/2 \sim t^{2}$. Значит, $r \sim t^{2}, m \sim r^{3} \sim t^{6}$. Учитывая, эти соотношения, из (1) получаем

$\Delta (t^{6} at) \sim t^{6}g \cdot \Delta t$.

Выполняя слева дифференцирование, находим $a$:

$\Delta ( at^{7}) = 7at^{6} \cdot \Delta t = t^{6}g \cdot \Delta t \Rightarrow a = \frac{g}{7}$.