Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12282
2019-12-31 
Для горизонтального перемещения грузов на расстояние $L = 20 м$ используется самоходная тележка, перемещающаяся по горизонтальным рельсам. На тросе длины $l = 5 м$ к тележке подвешивают перемещаемый груз (рис.). Тележка половину времени движется равноускоренно, а половину - равнозамедленно. Определить возможные значения ускорения тележки, при которых груз после остановки тележки в конце пути будет неподвижным.
Решение:
Поскольку начальная и конечная скорости тележки равны нулю, а время равноускоренного движения равно времени равнозамедленного движения абсолютные значения ускорений при равноускоренном и равнозамедлонном движениях равны; следовательно, пути, пройденные при этих режимах движения, равны между собой и равны $L/2$.
Рассмотрим движение груза, когда тележка движется с некоторым постоянным ускорением $\vec{a}$. В этом случае груз будет участвовать в двух движениях: он будет двигаться с ускорением $\vec{a}$ и, кроме того, совершать гармонические колебания в системе координат, связанной с тележкой. Положение равновесия при этих колебаниях находится из условия, что груз в этом положении под действием силы натяжения троса $\vec{T}$ и силы тяжести $m \vec{g}$ движется вдоль горизонтальной оси с ускорением $\vec{a}$. Из этих условий находим, что в положении равновесия трос отклонен от вертикали на угол $\alpha$ такой, что $tg \alpha = \frac{ | \vec{a} |}{| \vec{g} |}$ (рис.); поскольку $\alpha$ мало, $tg \alpha \approx \alpha \approx \frac{| \vec{a} |}{ | \vec{g} |}$.
Груз будет совершать колебания около этого положения равновесия с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l \cos \alpha}{g} } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$, а угловая амплитуда колебаний груза будет равна $\alpha$.
При смене знака ускорения тележки угол $\alpha$, определяющий отклонение троса от вертикали в положении равновесия, также меняет знак, то есть трос отклоняется на угол $\alpha$ в противоположную сторону. Для того чтобы груз оставался неподвижным после остановки тележки, на середине пути (при смене знака ускорения тележки) он должен находиться в первоначальном положении равновесия, то есть $\alpha$ должно быть равно нулю. Из этого следует, что за время $t$ прохождения тележкой расстояния $L/2$ груз должен совершить целое число л полных колебаний, то есть
$t = nT$, где $n = 1, 2, 3, \cdots$
Из условия
$\frac{L}{2} = \frac{at^{2} }{2} = \frac{an^{2}T^{2}}{2} = \frac{2 \pi^{2} n^{2} al }{g}$
находим набор значений ускорения, при которых после остановки тележки груз будет оставаться неподвижным:
$a_{n} = \frac{1}{n^{2} } \frac{Lg}{2 \pi^{2}l } = \frac{1}{n^{2} } м/с^{2}$.
Для горизонтального перемещения грузов на расстояние $L = 20 м$ используется самоходная тележка, перемещающаяся по горизонтальным рельсам. На тросе длины $l = 5 м$ к тележке подвешивают перемещаемый груз (рис.). Тележка половину времени движется равноускоренно, а половину - равнозамедленно. Определить возможные значения ускорения тележки, при которых груз после остановки тележки в конце пути будет неподвижным.
Решение:
Поскольку начальная и конечная скорости тележки равны нулю, а время равноускоренного движения равно времени равнозамедленного движения абсолютные значения ускорений при равноускоренном и равнозамедлонном движениях равны; следовательно, пути, пройденные при этих режимах движения, равны между собой и равны $L/2$.
Рассмотрим движение груза, когда тележка движется с некоторым постоянным ускорением $\vec{a}$. В этом случае груз будет участвовать в двух движениях: он будет двигаться с ускорением $\vec{a}$ и, кроме того, совершать гармонические колебания в системе координат, связанной с тележкой. Положение равновесия при этих колебаниях находится из условия, что груз в этом положении под действием силы натяжения троса $\vec{T}$ и силы тяжести $m \vec{g}$ движется вдоль горизонтальной оси с ускорением $\vec{a}$. Из этих условий находим, что в положении равновесия трос отклонен от вертикали на угол $\alpha$ такой, что $tg \alpha = \frac{ | \vec{a} |}{| \vec{g} |}$ (рис.); поскольку $\alpha$ мало, $tg \alpha \approx \alpha \approx \frac{| \vec{a} |}{ | \vec{g} |}$.
Груз будет совершать колебания около этого положения равновесия с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l \cos \alpha}{g} } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$, а угловая амплитуда колебаний груза будет равна $\alpha$.
При смене знака ускорения тележки угол $\alpha$, определяющий отклонение троса от вертикали в положении равновесия, также меняет знак, то есть трос отклоняется на угол $\alpha$ в противоположную сторону. Для того чтобы груз оставался неподвижным после остановки тележки, на середине пути (при смене знака ускорения тележки) он должен находиться в первоначальном положении равновесия, то есть $\alpha$ должно быть равно нулю. Из этого следует, что за время $t$ прохождения тележкой расстояния $L/2$ груз должен совершить целое число л полных колебаний, то есть
$t = nT$, где $n = 1, 2, 3, \cdots$
Из условия
$\frac{L}{2} = \frac{at^{2} }{2} = \frac{an^{2}T^{2}}{2} = \frac{2 \pi^{2} n^{2} al }{g}$
находим набор значений ускорения, при которых после остановки тележки груз будет оставаться неподвижным:
$a_{n} = \frac{1}{n^{2} } \frac{Lg}{2 \pi^{2}l } = \frac{1}{n^{2} } м/с^{2}$.
