Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1228
2016-10-20 
Два маленьких абсолютно упругих шарика имеют равные массы $m$, радиусы $r$ и заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ разных знаков, находящиеся строго в их центрах. В начальный момент шарики покоятся в космосе далеко от других тел так, что их центры расположены друг от друга на расстоянии $l > 2r$. Какими будут конечные скорости шариков после удара, если в момент соударения за счёт пробоя их заряды выровнялись? Гравитационное взаимодействие шариков не учитывайте.
Решение:
Сначала найдём скорости шариков в момент перед ударом. Так как массы шариков одинаковы, то эти скорости также будут одинаковы. Запишем закон сохранения энергии для начального состояния и момента времени перед ударом:
$mv^{2} = \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{2r} \right )$, где $v$ — скорости шариков перед ударом. Так как массы шариков одинаковы, то после абсолютно упругого удара они обменяются скоростями, то есть их скорости окажутся одинаковыми, равными по модулю $v$ и направленными в противоположные стороны. Значит, суммарная кинетическая энергия шариков останется равна $mv^{2}$. В то же время, поскольку в результате пробоя заряды шариков станут одинаковыми и равными $(q_{q} + q_{2})/2$, то потенциальная энергия их взаимодействия изменится. Конечная скорость шариков после удара может быть найдена из закона сохранения энергии, записанного для момента времени сразу после удара и конечного состояния системы, когда шарики разлетятся на бесконечно большое расстояние и потенциальная энергия взаимодействия обратится в ноль:
$mu^{2} - mv^{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{ q_{1}+q_{2}}{2} \right )^{2} \frac{1}{2r}$,
где $u$ — искомая конечная скорость, одинаковая для обоих шариков. Из записанных уравнений получаем:
$u = \sqrt{ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} m} \left ( \frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{8r} + \frac{q_{1}q_{2}}{l} \right )}$.
Заметим, что при столкновении шариков часть энергии системы рассеивается. Это происходит при электрическом пробое, в процессе которого энергия расходуется на нагрев шариков и уносится в виде электромагнитных волн. Поэтому данную задачу нельзя решать, записывая закон сохранения энергии для начального и конечного состояний всей системы.
Два маленьких абсолютно упругих шарика имеют равные массы $m$, радиусы $r$ и заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ разных знаков, находящиеся строго в их центрах. В начальный момент шарики покоятся в космосе далеко от других тел так, что их центры расположены друг от друга на расстоянии $l > 2r$. Какими будут конечные скорости шариков после удара, если в момент соударения за счёт пробоя их заряды выровнялись? Гравитационное взаимодействие шариков не учитывайте.
Решение:
Сначала найдём скорости шариков в момент перед ударом. Так как массы шариков одинаковы, то эти скорости также будут одинаковы. Запишем закон сохранения энергии для начального состояния и момента времени перед ударом:
$mv^{2} = \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{2r} \right )$, где $v$ — скорости шариков перед ударом. Так как массы шариков одинаковы, то после абсолютно упругого удара они обменяются скоростями, то есть их скорости окажутся одинаковыми, равными по модулю $v$ и направленными в противоположные стороны. Значит, суммарная кинетическая энергия шариков останется равна $mv^{2}$. В то же время, поскольку в результате пробоя заряды шариков станут одинаковыми и равными $(q_{q} + q_{2})/2$, то потенциальная энергия их взаимодействия изменится. Конечная скорость шариков после удара может быть найдена из закона сохранения энергии, записанного для момента времени сразу после удара и конечного состояния системы, когда шарики разлетятся на бесконечно большое расстояние и потенциальная энергия взаимодействия обратится в ноль:
$mu^{2} - mv^{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{ q_{1}+q_{2}}{2} \right )^{2} \frac{1}{2r}$,
где $u$ — искомая конечная скорость, одинаковая для обоих шариков. Из записанных уравнений получаем:
$u = \sqrt{ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} m} \left ( \frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{8r} + \frac{q_{1}q_{2}}{l} \right )}$.
Заметим, что при столкновении шариков часть энергии системы рассеивается. Это происходит при электрическом пробое, в процессе которого энергия расходуется на нагрев шариков и уносится в виде электромагнитных волн. Поэтому данную задачу нельзя решать, записывая закон сохранения энергии для начального и конечного состояний всей системы.
