Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12276
2019-12-31 
Емкостный вольтметр представляет собой плоский воздушный конденсатор, одна из пластин которого закреплена неподвижно, а вторая может перемещаться поступательно в направлении, перпендикулярном плоскости пластин. К подвижной пластине прикреплена пружина жесткости $k$ (рис.). Мерой приложенного напряжения служит изменение зазора между пластинами. Какое максимальное напряжение можно измерить таким прибором? Площади пластин $S$, зазор между пластинами при нулевом напряжении $d$.
Решение:
Обозначим $x(U)$ смещение пластины относительно начального положения ($x_{0} = 0$ при $U_{0} = 0$) при данном напряжении $U$. Найдем силу $F$ притяжения между пластинами конденсатора, заряженного до напряжения $U$. Эта сила, очевидно, не зависит от того, подсоединен конденсатор к источнику напряжения или нет.
Если конденсатор заряжен до напряжения $U$ и отсоединен от источника, то его заряд равен $Q = UC$, а энергия - $W = \frac{Q^{2}}{2C}$. При изменении зазора между пластинами на малую величину $\Delta x \ll d$ энергия конденсатора меняется на величину
$\Delta W = \frac{1}{2} Q^{2} \left ( \frac{1}{C^{ \prime} } - \frac{1}{C} \right ) = \frac{1}{2}Q^{2} \left ( \frac{d - \Delta x}{ \epsilon_{0}S } - \frac{d}{ \epsilon_{0}S } \right ) = - \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \Delta x$,
где $C^{ \prime}$ - емкость того же конденсатора при зазоре между пластинами $d - \Delta x$. Это изменение энергии равно но абсолютной величине работе силы $F$ на пути $\Delta x$, то есть $F \Delta \Delta x = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \Delta x$, откуда
$F = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0} S } = \frac{U^{2}C^{2} }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{U^{2} \epsilon_{0}S }{2d^{2} }$.
Итак, при данном напряжении $U$ сила $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния между пластинами.
Пусть конденсатор емкостного вольтметра подсоединен к источнику с напряжением $U_{x}$ и при этом пластина конденсатора смешена на расстояние $x$ от $x_{0} = 0$. Сила притяжения между пластинами конденсатора $F_{x} = \frac{U_{x}^{2} \epsilon_{0}S }{2(d - x)^{2} }$ уравновешивается упругой силой пружины, то есть
$kx = \frac{U_{x}^{2} \epsilon_{0}S }{2(d - x)^{2} }$.
Отсюда находим $U_{x}^{2}$:
$U_{x}^{2} = \frac{2k}{ \epsilon_{0}S } x(d - x)^{2}$
Очевидно, что максимальному значению $U_{max}$ соответствует максимум функции $f(x) = x(x - d)^{2}$. График функции $f(x) = x(d-x)^{2}$ приведен на рисунке. Найдем значение $x$, соответствующее максимуму:
$f^{ \prime} (x) = 3x^{2} - 4dx + d^{2} = 0$,
$x_{1} = d$ соответствует минимуму $f(x), x_{2} = \frac{d}{3}$ соответствует максимуму $f_{max} (x) = \frac{4}{27} d^{3}$. Таким обратом.
$U_{max}^{2} = \frac{8kd^{3} }{27 \epsilon_{0}S}, | U_{max} | = \frac{2d}{3} \sqrt{ \frac{2kd}{3 \epsilon_{0}S } }$.
Емкостный вольтметр представляет собой плоский воздушный конденсатор, одна из пластин которого закреплена неподвижно, а вторая может перемещаться поступательно в направлении, перпендикулярном плоскости пластин. К подвижной пластине прикреплена пружина жесткости $k$ (рис.). Мерой приложенного напряжения служит изменение зазора между пластинами. Какое максимальное напряжение можно измерить таким прибором? Площади пластин $S$, зазор между пластинами при нулевом напряжении $d$.
Решение:
Обозначим $x(U)$ смещение пластины относительно начального положения ($x_{0} = 0$ при $U_{0} = 0$) при данном напряжении $U$. Найдем силу $F$ притяжения между пластинами конденсатора, заряженного до напряжения $U$. Эта сила, очевидно, не зависит от того, подсоединен конденсатор к источнику напряжения или нет.
Если конденсатор заряжен до напряжения $U$ и отсоединен от источника, то его заряд равен $Q = UC$, а энергия - $W = \frac{Q^{2}}{2C}$. При изменении зазора между пластинами на малую величину $\Delta x \ll d$ энергия конденсатора меняется на величину
$\Delta W = \frac{1}{2} Q^{2} \left ( \frac{1}{C^{ \prime} } - \frac{1}{C} \right ) = \frac{1}{2}Q^{2} \left ( \frac{d - \Delta x}{ \epsilon_{0}S } - \frac{d}{ \epsilon_{0}S } \right ) = - \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \Delta x$,
где $C^{ \prime}$ - емкость того же конденсатора при зазоре между пластинами $d - \Delta x$. Это изменение энергии равно но абсолютной величине работе силы $F$ на пути $\Delta x$, то есть $F \Delta \Delta x = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \Delta x$, откуда
$F = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0} S } = \frac{U^{2}C^{2} }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{U^{2} \epsilon_{0}S }{2d^{2} }$.
Итак, при данном напряжении $U$ сила $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния между пластинами.
Пусть конденсатор емкостного вольтметра подсоединен к источнику с напряжением $U_{x}$ и при этом пластина конденсатора смешена на расстояние $x$ от $x_{0} = 0$. Сила притяжения между пластинами конденсатора $F_{x} = \frac{U_{x}^{2} \epsilon_{0}S }{2(d - x)^{2} }$ уравновешивается упругой силой пружины, то есть
$kx = \frac{U_{x}^{2} \epsilon_{0}S }{2(d - x)^{2} }$.
Отсюда находим $U_{x}^{2}$:
$U_{x}^{2} = \frac{2k}{ \epsilon_{0}S } x(d - x)^{2}$
Очевидно, что максимальному значению $U_{max}$ соответствует максимум функции $f(x) = x(x - d)^{2}$. График функции $f(x) = x(d-x)^{2}$ приведен на рисунке. Найдем значение $x$, соответствующее максимуму:
$f^{ \prime} (x) = 3x^{2} - 4dx + d^{2} = 0$,
$x_{1} = d$ соответствует минимуму $f(x), x_{2} = \frac{d}{3}$ соответствует максимуму $f_{max} (x) = \frac{4}{27} d^{3}$. Таким обратом.
$U_{max}^{2} = \frac{8kd^{3} }{27 \epsilon_{0}S}, | U_{max} | = \frac{2d}{3} \sqrt{ \frac{2kd}{3 \epsilon_{0}S } }$.
