Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12275
2019-12-31 
В простейшей модели звезда рассматривается как газовый шар, находящийся в равновесии в собственном поле тяжести. Считая, что газ состоит из полностью ионизированных атомов водорода и гелия, оценить температуру звезды. Масса звезды $M$, радиус $t$; относительное содержание водорода в газе равно $n$.
Решение:
Газовый шар состоит из огромного числа ионов и электронов; под действием сил тяготения между отдельными частицами газа шар должен был бы сжиматься. Равновесие шара в собственном поле тяжести возможно при условии, что силы тяготении уравновешиваются силами газового давления.
Вблизи центра шара численное значение давления $p$ должно равняться численному значению веса газового столба с поперечным сечением $\Delta s = 1 (см^{2})$ и высотой, равной радиусу шара $r (см)$. Масса такого столба равна $m = \rho r \cdot \Delta s (кг)$, где $\rho (кг/см^{3})$ - плотность газа, которую для приближенной оценки будем считать постоянной. Вес столба равен силе, с которой он притягивается к центру шара:
$F = G \frac{mM}{ (r/2)^{2} }$.
Эта формула не совсем точна, поскольку разные части столба притягиваются к центру, вообще говори, по-разному. Но для наших приближенных оценок мы можем считать, что сила притяжения $F$ такая, как если бы вся масса столба была сосредоточена в его центре (на расстоянии $r/2$ от центра шара).
Таким образом
$p = \frac{F}{ \Delta s} = 4G \frac{ \rho M}{r}$. (1)
С другой стороны, из уравнения Менделеева - Клапейрона
$p = \frac{M}{V \mu } RT = \frac{ \rho}{ \mu} RT$, (2)
где $\mu$ - молярная масса звездного газа. Приравнивая (1) и (2), находим температуру звезды $T$:
$T = 4G \frac{ \mu M}{rR}$.
Найдем молярную массу $\mu$. Давление $p$ складывается из парциальных давлений водорода и гелия, то есть
$\frac{M}{V \mu} RT = \frac{Mn}{V \mu_{H} } RT + \frac{M(1 - n)}{V \mu_{He} } RT$,
откуда
$\mu = \frac{ \mu_{H} \mu_{He} }{n( \mu_{He} - \mu_{H} + \mu_{H} )} = \frac{2 \cdot 10^{-3} }{3n + 1} кг/моль$.
При таком вычислении $\mu$ мы не учли давление электронного газа. Однако учет этого давления не изменит порядка величины $\mu$, и для наших оценочных расчетов мы можем пользоваться найденным приближенным значением $\mu$.
Таким образом,
$T = 4G \frac{2M}{rR (3n + 1) } \cdot 10^{-3} К$ (3)
При получении формулы (3) нами были сделаны некоторые упрощающие предположения. Для более точного расчета необходимо знать распределение плотности внутри газового шара, а это требует существенного выхода за рамки школьного курса математики. Кроме того, оценочная формула (3) предполагает, что температура в центральной области звезды не слишком резко меняется при удалении от центра к периферии, и имеет смысл говорить о некоторой средней температуре. На самом деле, в областях, удаленных от центра, температура существенно ниже, чем в центральной части звезды.
В простейшей модели звезда рассматривается как газовый шар, находящийся в равновесии в собственном поле тяжести. Считая, что газ состоит из полностью ионизированных атомов водорода и гелия, оценить температуру звезды. Масса звезды $M$, радиус $t$; относительное содержание водорода в газе равно $n$.
Решение:
Газовый шар состоит из огромного числа ионов и электронов; под действием сил тяготения между отдельными частицами газа шар должен был бы сжиматься. Равновесие шара в собственном поле тяжести возможно при условии, что силы тяготении уравновешиваются силами газового давления.
Вблизи центра шара численное значение давления $p$ должно равняться численному значению веса газового столба с поперечным сечением $\Delta s = 1 (см^{2})$ и высотой, равной радиусу шара $r (см)$. Масса такого столба равна $m = \rho r \cdot \Delta s (кг)$, где $\rho (кг/см^{3})$ - плотность газа, которую для приближенной оценки будем считать постоянной. Вес столба равен силе, с которой он притягивается к центру шара:
$F = G \frac{mM}{ (r/2)^{2} }$.
Эта формула не совсем точна, поскольку разные части столба притягиваются к центру, вообще говори, по-разному. Но для наших приближенных оценок мы можем считать, что сила притяжения $F$ такая, как если бы вся масса столба была сосредоточена в его центре (на расстоянии $r/2$ от центра шара).
Таким образом
$p = \frac{F}{ \Delta s} = 4G \frac{ \rho M}{r}$. (1)
С другой стороны, из уравнения Менделеева - Клапейрона
$p = \frac{M}{V \mu } RT = \frac{ \rho}{ \mu} RT$, (2)
где $\mu$ - молярная масса звездного газа. Приравнивая (1) и (2), находим температуру звезды $T$:
$T = 4G \frac{ \mu M}{rR}$.
Найдем молярную массу $\mu$. Давление $p$ складывается из парциальных давлений водорода и гелия, то есть
$\frac{M}{V \mu} RT = \frac{Mn}{V \mu_{H} } RT + \frac{M(1 - n)}{V \mu_{He} } RT$,
откуда
$\mu = \frac{ \mu_{H} \mu_{He} }{n( \mu_{He} - \mu_{H} + \mu_{H} )} = \frac{2 \cdot 10^{-3} }{3n + 1} кг/моль$.
При таком вычислении $\mu$ мы не учли давление электронного газа. Однако учет этого давления не изменит порядка величины $\mu$, и для наших оценочных расчетов мы можем пользоваться найденным приближенным значением $\mu$.
Таким образом,
$T = 4G \frac{2M}{rR (3n + 1) } \cdot 10^{-3} К$ (3)
При получении формулы (3) нами были сделаны некоторые упрощающие предположения. Для более точного расчета необходимо знать распределение плотности внутри газового шара, а это требует существенного выхода за рамки школьного курса математики. Кроме того, оценочная формула (3) предполагает, что температура в центральной области звезды не слишком резко меняется при удалении от центра к периферии, и имеет смысл говорить о некоторой средней температуре. На самом деле, в областях, удаленных от центра, температура существенно ниже, чем в центральной части звезды.
