Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12272
2019-12-25 
Между точками А и В на поверхности Луны, расположенными на угловом расстоянии $90^{ \circ}$, прорыт прямолинейный канал (рис.), заполненный воздухом при нормальной температуре. Давление воздуха в середине канала $p_{C} = 10^{5} Па$. Найти давление воздуха в канале у поверхности Луны. Луну считать однородным шаром с диаметром $D = 3480 км$. Ускорение $g_{л}$ свободного падения на поверхности Луны в шесть раз меньше земного.
Решение:
Давление воздуха $p_{C}$ в середине канала равно давлению в вертикальной радиальной шахте на расстоянии $a/ \sqrt{2}$ от центра Луны ($a = D/2$ - радиус Луны), а искомое давление равно давлению $p_{K}$ на поверхности этой шахты. Поэтому необходимо установить, как изменяется давление по мере продвижения в глубь шахты.
Рассмотрим столбик воздуха малой высоты $\Delta y$, находящийся на расстоянии $y$ от центра Луны, и запишем условие его равновесия:
$\rho g \Delta y = - \Delta p$, (*)
где $\rho$ - плотность воздуха, $g$ - ускорение свободного падения на данной глубине, $\Delta p$ - разность давлений на высотах $y + \Delta y$ и $y$.
Плотность воздуха найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона:
$pV = \frac{m}{ \mu} RT$, и $\rho = \frac{m}{V} = \frac{ \mu}{RT} p$.
где $p$ - давление воздуха на выбранной глубине.
Теперь выясним, как меняется ускорение свободного падения по мере "углубления" в Луну. Выделим внутри Луны - шара радиуса $a$ - шар радиуса $y < a$ (рис.). Если на поверхность этого меньшего шара поместить материальную точку массы $m_{0}$, то реально она будет притягиваться только меньшим шаром. Суммарное действие гравитационных сил между нашей материальной точкой и всеми частицами в заштрихованной области (см. рис.) равно нулю. Тогда ускорение $g$ в точке С (с координатой $y$) определяется формулой
$G \frac{m_{0}m_{y} }{y^{2}} = m_{0}g$,
а ускорение $g_{л}$ в точке К - формулой
$G \frac{mM}{a^{2} } = m_{0}g_{л}$,
где $m_{y}$ и $M$ - массы меньшего и большего шаров соответственно. Разделив формулы почленно друг на друга и учтя, что массы шаров пропорциональны их объемам (а значит, и кубам их радиусов), получим:
$g = g_{л} \frac{y}{a}$.
Подставим полученные выражения для $\rho$ и $g$ в уравнение (*):
$\frac{ \mu p}{RT} \frac{g_{л}y }{a} \Delta y = - \Delta p$,
или
$\frac{ \Delta p }{p} = - \frac{ \mu g_{л} }{RT a} y \Delta y$.
Если конечные приращения $\Delta p$ и $\Delta y$ заменить бесконечно малыми $dp$ и $dy$, получим дифференциальное уравнение
$\frac{dp}{p} = - \frac{ \mu g_{л} }{RTa} y \: dy $.
Решение этого уравнения находится интегрированием:
$\int_{p_{C}}^{p_{K} } \frac{dp}{p} = \int_{y_{C} }^{y_{K} } - \frac{ \mu g_{л} }{ RTa } y dy$.
или
$ln p_{K} - ln p_{C} = - \frac{ \mu g_{л} }{RTa} \left ( \frac{a^{2} }{2} - \frac{a^{2} }{4} \right )$.
Отсюда
$ln \frac{p_{C} }{p_{K} } = \frac{ \mu g_{л}a }{4RT} \approx 9,1$.
или
$lg \frac{p_{C} }{p_{K} } \approx 4,3 ln \frac{p_{C} }{p_{K} } \approx 3,9$.
По таблицам десятичных антилогарифмов находим отношение давлений:
$\frac{p_{C} }{p_{K} } \approx 8000$;
следовательно, давление воздуха в канале у поверхности Луны приблизительно в 8000 раз меньше давления в центре канала:
$p_{A} = p_{B} = p_{K} \approx \frac{p_{C} }{8000} \approx 12,5 Па$.
Полученный нами ответ показывает, что в принципе возможно существование внутри Луны полостей, заполненных газом.
Между точками А и В на поверхности Луны, расположенными на угловом расстоянии $90^{ \circ}$, прорыт прямолинейный канал (рис.), заполненный воздухом при нормальной температуре. Давление воздуха в середине канала $p_{C} = 10^{5} Па$. Найти давление воздуха в канале у поверхности Луны. Луну считать однородным шаром с диаметром $D = 3480 км$. Ускорение $g_{л}$ свободного падения на поверхности Луны в шесть раз меньше земного.
Решение:
Давление воздуха $p_{C}$ в середине канала равно давлению в вертикальной радиальной шахте на расстоянии $a/ \sqrt{2}$ от центра Луны ($a = D/2$ - радиус Луны), а искомое давление равно давлению $p_{K}$ на поверхности этой шахты. Поэтому необходимо установить, как изменяется давление по мере продвижения в глубь шахты.
Рассмотрим столбик воздуха малой высоты $\Delta y$, находящийся на расстоянии $y$ от центра Луны, и запишем условие его равновесия:
$\rho g \Delta y = - \Delta p$, (*)
где $\rho$ - плотность воздуха, $g$ - ускорение свободного падения на данной глубине, $\Delta p$ - разность давлений на высотах $y + \Delta y$ и $y$.
Плотность воздуха найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона:
$pV = \frac{m}{ \mu} RT$, и $\rho = \frac{m}{V} = \frac{ \mu}{RT} p$.
где $p$ - давление воздуха на выбранной глубине.
Теперь выясним, как меняется ускорение свободного падения по мере "углубления" в Луну. Выделим внутри Луны - шара радиуса $a$ - шар радиуса $y < a$ (рис.). Если на поверхность этого меньшего шара поместить материальную точку массы $m_{0}$, то реально она будет притягиваться только меньшим шаром. Суммарное действие гравитационных сил между нашей материальной точкой и всеми частицами в заштрихованной области (см. рис.) равно нулю. Тогда ускорение $g$ в точке С (с координатой $y$) определяется формулой
$G \frac{m_{0}m_{y} }{y^{2}} = m_{0}g$,
а ускорение $g_{л}$ в точке К - формулой
$G \frac{mM}{a^{2} } = m_{0}g_{л}$,
где $m_{y}$ и $M$ - массы меньшего и большего шаров соответственно. Разделив формулы почленно друг на друга и учтя, что массы шаров пропорциональны их объемам (а значит, и кубам их радиусов), получим:
$g = g_{л} \frac{y}{a}$.
Подставим полученные выражения для $\rho$ и $g$ в уравнение (*):
$\frac{ \mu p}{RT} \frac{g_{л}y }{a} \Delta y = - \Delta p$,
или
$\frac{ \Delta p }{p} = - \frac{ \mu g_{л} }{RT a} y \Delta y$.
Если конечные приращения $\Delta p$ и $\Delta y$ заменить бесконечно малыми $dp$ и $dy$, получим дифференциальное уравнение
$\frac{dp}{p} = - \frac{ \mu g_{л} }{RTa} y \: dy $.
Решение этого уравнения находится интегрированием:
$\int_{p_{C}}^{p_{K} } \frac{dp}{p} = \int_{y_{C} }^{y_{K} } - \frac{ \mu g_{л} }{ RTa } y dy$.
или
$ln p_{K} - ln p_{C} = - \frac{ \mu g_{л} }{RTa} \left ( \frac{a^{2} }{2} - \frac{a^{2} }{4} \right )$.
Отсюда
$ln \frac{p_{C} }{p_{K} } = \frac{ \mu g_{л}a }{4RT} \approx 9,1$.
или
$lg \frac{p_{C} }{p_{K} } \approx 4,3 ln \frac{p_{C} }{p_{K} } \approx 3,9$.
По таблицам десятичных антилогарифмов находим отношение давлений:
$\frac{p_{C} }{p_{K} } \approx 8000$;
следовательно, давление воздуха в канале у поверхности Луны приблизительно в 8000 раз меньше давления в центре канала:
$p_{A} = p_{B} = p_{K} \approx \frac{p_{C} }{8000} \approx 12,5 Па$.
Полученный нами ответ показывает, что в принципе возможно существование внутри Луны полостей, заполненных газом.
