Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12271
2019-12-25 
Стальному шарику, находящемуся в точке А основания АВ равнобедренного прямоугольного клина, сообщают скорость $v_{0}$ в направлении стороны АО (см. рисунок). При каких значениях $v_{0}$ шарик из точки А попадает в точку В? Длина ребра клина $l$.
Решение:
И общем случае траектория шарика после отрыва от клина в точке О будет такой, как покатано на рисунке, - она будет состоять из участков парабол. Проекции на ось ОХ перемещении шарика да последовательные равные промежутки времени $t_{1}, t_{2}, t_{3}, \cdots, t_{n}$ относятся как
$s_{1} : s_{2} : s_{3} : \cdots : s_{n} = 1 : 3 : 5 : \cdots : (2n - 1)$
(поскольку в момент "отрыва" шарика в точке О проекция его скорости $\vec{v}_{1}$ на ось ОХ равна нулю). Если при $n$-м соударении с ребром ОВ шарик попадает в точку В, то
$s_{1} + s_{2} + s_{3} + \cdots + s_{n} = s_{1}(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)) = s_{1}n^{2} = l$.
Найдем, как связаны $s_{1}$ н $v_{1}$. Проекции ускорения шарика на оси ОX и ОY равны $a_{x} = a_{y} =g \frac{ \sqrt{2} }{2}$, и
$s_{1} = a_{x} \frac{t_{1}^{2} }{2} = g \frac{ \sqrt{2} }{4} t_{1}^{2}$.
Время $t_{1}$ движения шарика до первого удара о клин найдем из условии $v_{1} - a_{y} \frac{t_{1} }{2} = 0$:
$t_{1} = \frac{2v_{1} }{a_{y} } = \frac{4v_{1} }{g \sqrt{2} }$.
Таким образом,
$s_{1} = \frac{2v_{1}^{2} \sqrt{2} }{g}$, или $v_{1}^{2} = \frac{gl \sqrt{2} }{4n^{2} }$.
Связь между $v_{1}$ и $v_{0}$ найдем из закона сохранения энергии:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + mgl \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow v_{0} = \sqrt{v_{1}^{2} + gl \sqrt{2} } = \frac{1}{2n} \sqrt{gl \sqrt{2} (4n^{2} + 1 ) }$.
Итак, шарик попадает в точку В, если в точке А ему сообщают скорость $| \vec{v}_{0} | = \frac{1}{2n} \sqrt{ lg \sqrt{2} (4n^{2} + 1 ) }$, где $n$ - натуральное число. Отметим, что
$lim_{n \rightarrow \infty} v_{0} = \sqrt{gl \sqrt{2} }$.
Этот же результат следует из закона сохранения энергии: при $n \rightarrow \infty$ $v_{1} \rightarrow 0$, и
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = mgl \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow v_{0} = \sqrt{gl \sqrt{2} }$.
Стальному шарику, находящемуся в точке А основания АВ равнобедренного прямоугольного клина, сообщают скорость $v_{0}$ в направлении стороны АО (см. рисунок). При каких значениях $v_{0}$ шарик из точки А попадает в точку В? Длина ребра клина $l$.
Решение:
И общем случае траектория шарика после отрыва от клина в точке О будет такой, как покатано на рисунке, - она будет состоять из участков парабол. Проекции на ось ОХ перемещении шарика да последовательные равные промежутки времени $t_{1}, t_{2}, t_{3}, \cdots, t_{n}$ относятся как
$s_{1} : s_{2} : s_{3} : \cdots : s_{n} = 1 : 3 : 5 : \cdots : (2n - 1)$
(поскольку в момент "отрыва" шарика в точке О проекция его скорости $\vec{v}_{1}$ на ось ОХ равна нулю). Если при $n$-м соударении с ребром ОВ шарик попадает в точку В, то
$s_{1} + s_{2} + s_{3} + \cdots + s_{n} = s_{1}(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)) = s_{1}n^{2} = l$.
Найдем, как связаны $s_{1}$ н $v_{1}$. Проекции ускорения шарика на оси ОX и ОY равны $a_{x} = a_{y} =g \frac{ \sqrt{2} }{2}$, и
$s_{1} = a_{x} \frac{t_{1}^{2} }{2} = g \frac{ \sqrt{2} }{4} t_{1}^{2}$.
Время $t_{1}$ движения шарика до первого удара о клин найдем из условии $v_{1} - a_{y} \frac{t_{1} }{2} = 0$:
$t_{1} = \frac{2v_{1} }{a_{y} } = \frac{4v_{1} }{g \sqrt{2} }$.
Таким образом,
$s_{1} = \frac{2v_{1}^{2} \sqrt{2} }{g}$, или $v_{1}^{2} = \frac{gl \sqrt{2} }{4n^{2} }$.
Связь между $v_{1}$ и $v_{0}$ найдем из закона сохранения энергии:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + mgl \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow v_{0} = \sqrt{v_{1}^{2} + gl \sqrt{2} } = \frac{1}{2n} \sqrt{gl \sqrt{2} (4n^{2} + 1 ) }$.
Итак, шарик попадает в точку В, если в точке А ему сообщают скорость $| \vec{v}_{0} | = \frac{1}{2n} \sqrt{ lg \sqrt{2} (4n^{2} + 1 ) }$, где $n$ - натуральное число. Отметим, что
$lim_{n \rightarrow \infty} v_{0} = \sqrt{gl \sqrt{2} }$.
Этот же результат следует из закона сохранения энергии: при $n \rightarrow \infty$ $v_{1} \rightarrow 0$, и
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = mgl \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow v_{0} = \sqrt{gl \sqrt{2} }$.
