Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12268
2019-12-25 
Тонкий обруч радиуса $R$ может вращаться вокруг горизонтального стержня А, параллельного оси обруча (см. рисунок). На обруч надета небольшая шайба В массы $m$, которая может перемещаться по обручу без трения. Обруч вместе с шайбой как целое отклоняют от положения равновесия на угол $\phi_{0}$ и отпускают. Определить зависимость силы взаимодействия шайбы и обруча от угла $\phi$, образуемого радиус-вектором ОА с вертикалью.
Решение:
Рассмотрим движение двух систем:
система I - шайба, подвешенная на нити длины $2R$ (математический маятник); масса шайбы $m$;
система II - обруч радиуса $R$ с закрепленной на нем в нижней точке шайбой массы $m$.
Отклоним обе системы от положения равновесия на один и тот же угол $\phi_{0}$ и отпустим. В силу закона сохранения энергии системы будут совершать колебания с одинаковыми амплитудами. Сравним скорости, которыми будут обладать шайбы (на нити и на обруче) при угле отклонения от вертикали, равном $\phi$.
Из закона сохранения энергии для системы I -
$mg \cdot 2R(1 - \cos \phi_{0} ) = mg \cdot 2R(1 - \cos \phi) + \frac{mv^{2} }{2}$,
для системы II -
$mg \cdot 2R(1 - \cos \phi_{0} ) + Mg (R + R(1 - \cos \phi_{0})) = mg \cdot 2R(1 - \cos \phi) + Mg (R + R(1 - \cos \phi ) ) + \frac{m(v^{ \prime} )^{2} }{2} + 2 \frac{M \left ( \frac{v^{ \prime} }{2} \right )^{2} }{2}$
($M$ - масса обруча, $v^{ \prime}$ - скорость шайбы, $v^{ \prime} /2$ - скорость центра обруча, $\frac{ 2M \left ( \frac{v^{ \prime} }{2} \right )^{2}}{2}$ - кинетическая энергия обруча) находим
$v^{2} = 4Rg( \cos \phi - \cos \phi_{0} )$,
$(v^{ \prime})^{2} = 4Rg( \cos \phi - \cos \phi_{0} )$.
Мы видим, что $v = v^{ \prime}$. Следовательно, в рассматриваемых системах совпадают траектории движения шайб, и мгновенные скорости шайб (отсюда, кстати, вытекает синхронность колебаний систем I и II). Таким образом, и мгновенные ускорении шайб одинаковы. Поэтому по абсолютной величине мгновенное значение силы взаимодействия обруча и закрепленной на нем шайбы будет в точности равно соответствующему мгновенному значению силы натяжения нити $T( \phi)$ математического маятника длины $2R$. Найдем $T( \phi )$.
Запишем уравнение движения шайбы на нити:
$T( \phi ) - mg \cos \phi = \frac{mv^{2} }{2R}$.
Подставив полученное ранее значение $v^{2}$, найдем $T( \phi)$:
$T( \phi ) = mg (3 \cos \phi - 2 \cos \phi_{0})$.
Таким образом, сила, действующая со стороны обруча на закрепленную на нем шайбу, в любой момент времени направлена к центру обруча. А это означает, что если мы выводим данную в задаче систему из положения равновесия, то при дальнейшем движении шайба будет все время покоиться относительно обруча независимо от того, закреплена она на нем или нет. Поэтому сила взаимодействия шайбы и обруча равна
$N ( \phi ) = mg (3 \cos \phi - 2 \cos \phi_{0} )$.
Тонкий обруч радиуса $R$ может вращаться вокруг горизонтального стержня А, параллельного оси обруча (см. рисунок). На обруч надета небольшая шайба В массы $m$, которая может перемещаться по обручу без трения. Обруч вместе с шайбой как целое отклоняют от положения равновесия на угол $\phi_{0}$ и отпускают. Определить зависимость силы взаимодействия шайбы и обруча от угла $\phi$, образуемого радиус-вектором ОА с вертикалью.
Решение:
Рассмотрим движение двух систем:
система I - шайба, подвешенная на нити длины $2R$ (математический маятник); масса шайбы $m$;
система II - обруч радиуса $R$ с закрепленной на нем в нижней точке шайбой массы $m$.
Отклоним обе системы от положения равновесия на один и тот же угол $\phi_{0}$ и отпустим. В силу закона сохранения энергии системы будут совершать колебания с одинаковыми амплитудами. Сравним скорости, которыми будут обладать шайбы (на нити и на обруче) при угле отклонения от вертикали, равном $\phi$.
Из закона сохранения энергии для системы I -
$mg \cdot 2R(1 - \cos \phi_{0} ) = mg \cdot 2R(1 - \cos \phi) + \frac{mv^{2} }{2}$,
для системы II -
$mg \cdot 2R(1 - \cos \phi_{0} ) + Mg (R + R(1 - \cos \phi_{0})) = mg \cdot 2R(1 - \cos \phi) + Mg (R + R(1 - \cos \phi ) ) + \frac{m(v^{ \prime} )^{2} }{2} + 2 \frac{M \left ( \frac{v^{ \prime} }{2} \right )^{2} }{2}$
($M$ - масса обруча, $v^{ \prime}$ - скорость шайбы, $v^{ \prime} /2$ - скорость центра обруча, $\frac{ 2M \left ( \frac{v^{ \prime} }{2} \right )^{2}}{2}$ - кинетическая энергия обруча) находим
$v^{2} = 4Rg( \cos \phi - \cos \phi_{0} )$,
$(v^{ \prime})^{2} = 4Rg( \cos \phi - \cos \phi_{0} )$.
Мы видим, что $v = v^{ \prime}$. Следовательно, в рассматриваемых системах совпадают траектории движения шайб, и мгновенные скорости шайб (отсюда, кстати, вытекает синхронность колебаний систем I и II). Таким образом, и мгновенные ускорении шайб одинаковы. Поэтому по абсолютной величине мгновенное значение силы взаимодействия обруча и закрепленной на нем шайбы будет в точности равно соответствующему мгновенному значению силы натяжения нити $T( \phi)$ математического маятника длины $2R$. Найдем $T( \phi )$.
Запишем уравнение движения шайбы на нити:
$T( \phi ) - mg \cos \phi = \frac{mv^{2} }{2R}$.
Подставив полученное ранее значение $v^{2}$, найдем $T( \phi)$:
$T( \phi ) = mg (3 \cos \phi - 2 \cos \phi_{0})$.
Таким образом, сила, действующая со стороны обруча на закрепленную на нем шайбу, в любой момент времени направлена к центру обруча. А это означает, что если мы выводим данную в задаче систему из положения равновесия, то при дальнейшем движении шайба будет все время покоиться относительно обруча независимо от того, закреплена она на нем или нет. Поэтому сила взаимодействия шайбы и обруча равна
$N ( \phi ) = mg (3 \cos \phi - 2 \cos \phi_{0} )$.
