Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12267
2019-12-25 
Нерастяжимая шероховатая веревка линейной плотности $\rho$ и длины $l$, перекинута через блок так, что длина одного из свисающие концов равна $l$($l < L/2$). Блок, надетый на горизонтальную ось, представляет собой тонкий обруч массы $m$ и радиуса $r$ на легких спицах (см. рисунок). Систему удерживают в состоянии покоя и затем отпускают. Найти силу давления на ось в первый момент времени. Трение между осью и блоком мало.
Решение:
На систему блок + веревка действуют три силы: сила $\vec{R}$ реакции в оси блока и силы тяжести $m \vec{g}$ и $M \vec{g}$ ($M = \rho L$ - масса веревки). Согласно третьему закону Ньютона, сила $\vec{N}$ давления на ось блока равна по абсолютной величине $| \vec{R} |$. Найдем $| \vec{R} |$.
Запишем уравнение движения центра масс системы в проекциях на оси ОХ и OY (см. рисунок):
$(M + m)g - R_{x} = (M + m)A_{x}$, (*)
$R_{y} = (M + m) A_{y}$
($A_{x}$ и $A_{y}$ - проекции ускорения центра масс). Так как веревка нерастяжима и не проскальзывает по блоку, ускорения всех точек веревки и блока в первый момент времени будут равны по абсолютной величине (начальная скорость системы равна нулю, и точки веревки, лежащие на обруче, еще не приобрели центростремительной составляющей ускорения).
Ускорение $\vec{A}$ центра масс системы связано с ускорениями $\vec{a}_{i}$ всех ее $i$ точек соотношением
$M \vec{A} = \sum_{i} m_{i} \vec{a}_{i}$,
где $M$ - масса системы, $m_{i}$ - масса ее $i$-й точки, запишем для нашей системы это соотношение в проекциях на оси ОХ и OY.
В проекции на оси ОХ
$- M_{AC}a + M_{BD}a = (M + m)A_{x}$,
так как суммарный вклад всех произведений $M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$ (от точек веревки, лежащих на участке АВ) и $m_{i} \vec{a}_{i}$ (от точек обруча) в проекциях на ось ОХ равен нулю: это ясно из соображений симметрии. В проекцию же на ось OY вносят вклад только произведения $M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$. Чтобы найти проекцию на ось OY вектора $\sum_{i} M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$, мы должны просуммировать векторы $M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$ с учетом того, что в каждой точке ускорение направлено по касательной к обручу (напомним, что начальная скорость равна нулю). Такое суммирование (проведите его самостоятельно) приведет нас к следующему результату:
$\frac{2}{ \pi } M_{AB}a = (M + m)A_{y}$.
Подставим полученные выражения $(M + m)A_{x}$ и $(M + m)A_{y}$ в (*) и найдем $R_{x}$ и $R_{y}$:
$R_{x} = (M + m) (g - A_{x}) = (M + m) \left ( g - \frac{M_{BD} - M_{AC} }{M + m} a \right )$,
$R_{y} = \frac{2}{ \pi} M_{AB}a$.
Для определения ускорения $a$ запишем уравнения движения отдельных частей системы:
$M_{BD} g - T_{B} = M_{BD} a$,
$T_{A} - M_{AC}g = M_{AC}a$,
$T_{B} - T_{A} = (M_{AB} + m )a$.
где $\vec{T}_{A}$ и $\vec{T}_{B}$ - силы натяжения веревки в точках А и В (см. рисунок). (Чтобы подучить последнее уравнение, рассмотрите движение отдельных маленьких частей веревки на участке АВ и обруча.) Из этих уравнений находим
$a = \frac{M_{BD} - M_{AC} }{M + m} g$.
Таким образом,
$R_{x} = (M + m) \left ( g - \frac{(M_{BD} - M_{AC} )^{2} }{(M + m)^{2} }g \right )$,
$R_{y} = \frac{2}{ \pi} M_{AB} \frac{M_{BD} - M_{AC} }{M + m} g$.
Следовательно, проекции силы $\vec{N}$ давления на ось в первый момент времени равны
$- N_{x} = ( \rho L + m ) \left ( 1 - \frac{(L - \pi r - 2l)^{2} \rho^{2} }{(L \rho + m)^{2} } \right ) g$,
$- N_{y} = 2 r \rho \frac{ (L - \pi r - 2l) \rho}{L \rho + m} g$.
Нерастяжимая шероховатая веревка линейной плотности $\rho$ и длины $l$, перекинута через блок так, что длина одного из свисающие концов равна $l$($l < L/2$). Блок, надетый на горизонтальную ось, представляет собой тонкий обруч массы $m$ и радиуса $r$ на легких спицах (см. рисунок). Систему удерживают в состоянии покоя и затем отпускают. Найти силу давления на ось в первый момент времени. Трение между осью и блоком мало.
Решение:
На систему блок + веревка действуют три силы: сила $\vec{R}$ реакции в оси блока и силы тяжести $m \vec{g}$ и $M \vec{g}$ ($M = \rho L$ - масса веревки). Согласно третьему закону Ньютона, сила $\vec{N}$ давления на ось блока равна по абсолютной величине $| \vec{R} |$. Найдем $| \vec{R} |$.
Запишем уравнение движения центра масс системы в проекциях на оси ОХ и OY (см. рисунок):
$(M + m)g - R_{x} = (M + m)A_{x}$, (*)
$R_{y} = (M + m) A_{y}$
($A_{x}$ и $A_{y}$ - проекции ускорения центра масс). Так как веревка нерастяжима и не проскальзывает по блоку, ускорения всех точек веревки и блока в первый момент времени будут равны по абсолютной величине (начальная скорость системы равна нулю, и точки веревки, лежащие на обруче, еще не приобрели центростремительной составляющей ускорения).
Ускорение $\vec{A}$ центра масс системы связано с ускорениями $\vec{a}_{i}$ всех ее $i$ точек соотношением
$M \vec{A} = \sum_{i} m_{i} \vec{a}_{i}$,
где $M$ - масса системы, $m_{i}$ - масса ее $i$-й точки, запишем для нашей системы это соотношение в проекциях на оси ОХ и OY.
В проекции на оси ОХ
$- M_{AC}a + M_{BD}a = (M + m)A_{x}$,
так как суммарный вклад всех произведений $M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$ (от точек веревки, лежащих на участке АВ) и $m_{i} \vec{a}_{i}$ (от точек обруча) в проекциях на ось ОХ равен нулю: это ясно из соображений симметрии. В проекцию же на ось OY вносят вклад только произведения $M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$. Чтобы найти проекцию на ось OY вектора $\sum_{i} M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$, мы должны просуммировать векторы $M_{i(AB)} \vec{a}_{i}$ с учетом того, что в каждой точке ускорение направлено по касательной к обручу (напомним, что начальная скорость равна нулю). Такое суммирование (проведите его самостоятельно) приведет нас к следующему результату:
$\frac{2}{ \pi } M_{AB}a = (M + m)A_{y}$.
Подставим полученные выражения $(M + m)A_{x}$ и $(M + m)A_{y}$ в (*) и найдем $R_{x}$ и $R_{y}$:
$R_{x} = (M + m) (g - A_{x}) = (M + m) \left ( g - \frac{M_{BD} - M_{AC} }{M + m} a \right )$,
$R_{y} = \frac{2}{ \pi} M_{AB}a$.
Для определения ускорения $a$ запишем уравнения движения отдельных частей системы:
$M_{BD} g - T_{B} = M_{BD} a$,
$T_{A} - M_{AC}g = M_{AC}a$,
$T_{B} - T_{A} = (M_{AB} + m )a$.
где $\vec{T}_{A}$ и $\vec{T}_{B}$ - силы натяжения веревки в точках А и В (см. рисунок). (Чтобы подучить последнее уравнение, рассмотрите движение отдельных маленьких частей веревки на участке АВ и обруча.) Из этих уравнений находим
$a = \frac{M_{BD} - M_{AC} }{M + m} g$.
Таким образом,
$R_{x} = (M + m) \left ( g - \frac{(M_{BD} - M_{AC} )^{2} }{(M + m)^{2} }g \right )$,
$R_{y} = \frac{2}{ \pi} M_{AB} \frac{M_{BD} - M_{AC} }{M + m} g$.
Следовательно, проекции силы $\vec{N}$ давления на ось в первый момент времени равны
$- N_{x} = ( \rho L + m ) \left ( 1 - \frac{(L - \pi r - 2l)^{2} \rho^{2} }{(L \rho + m)^{2} } \right ) g$,
$- N_{y} = 2 r \rho \frac{ (L - \pi r - 2l) \rho}{L \rho + m} g$.
