Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12265
2019-12-25 
Проволочной квадратной рамке с периметром $4a$ и массой $m$ сообщают в горизонтальном направлении некоторую начальную скорость. Рамки движется в вертикальной плоскости, все время, находясь в магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки (См. рисунок). Индукция поля меняется по закону $B(z) = B(0) + kz$, где $k = const$. Сопротивление рамки равно $R$. Через некоторое время скорость рамки становится постоянной и равной $v$. Найти начальную скорость, сообщаемую рамке. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В отсутствие магнитного поля рамка двигалась бы в поле тяжести Земли с постоянной горизонтальной скоростью $\vec{v}_{0}$ вдоль оси X и равноускорено с ускорением свободного падения $\vec{g}$ вдоль оси $Z$. Очевидно, что движение рамки не изменилось бы, если бы она падала в однородном магнитном поле. В нашем случае поле - не однородное (вдоль оси Z) $B(z) = B_{0} + kz$, то есть индукция ноля линейно растет с ростом $z$; поэтому при падении рамки поток магнитной индукции $\Phi$, пронизывающим контур рамки, будет меняться и в контуре рамки, будет возникать ЭДС индукции. Поскольку рамка является замкнутым проводящим контуром, по ней потечет индукционный ток. В этом случае, согласно закону Ампера, на стороны рамки будут действовать силы со стороны магнитного поля. Найдем направления и величины этих сил.
Пусть в некоторый момент времени центр масс рамки находится в точке с координатами $x_{l}, z_{l}$ и проекции скорости центра масс на оси X и Z равны $v_{x}$ и $v_{z}$ (см. рисунок). Поток магнитной индукции $\Phi$, пронизывающий рамку в этот момент времени, равен
$\Phi = \frac{(B_{0} + k(z_{l} - a/2 ) ) + (B_{0} + k (z_{l} + a/2 ) ) }{2} a^{2} = (B_{0} + kz_{l} ) a^{2}$.
Здесь $B_{0} + k(z_{l} - a/2)$ и $B_{0} + k(z_{l} + a/2)$ - значения индукции магнитного ноля соответственно у верхней и нижней сторон рамки, поскольку зависимость $B(z)$ - линейная, для вычисления $\Phi$ мы пользуемся средним (по высоте $z$) значением индукции.
ЭДС индукции в рамке в данный момент времени равна
$| \mathcal{E} | = \frac{| \Delta \Phi |}{ \Delta t} = ka^{2} \frac{| \Delta z|}{ \Delta t} = ka^{2} | v_{z} |$,
индукционный ток равен
$I = \frac{| \mathcal{E} |}{R} = \frac{ka^{2} }{R} | v_{z} |$,
Согласно правилу Ленца, возникающий в рамке индукционный ток будет течь против часовой стрелки. По закону Ампера со стороны магнитного ноля на верхнюю сторону рамки будет действовать сила
$| \vec{F}_{1} | = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} - \frac{a}{2} \right ) \right ) Ia = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} - \frac{a}{2} \right ) \right ) \frac{ka^{3} }{R} | v_{z} |$,
на нижнюю сторону - сила
$| \vec{F}_{2} | = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} + \frac{a}{2} \right ) \right ) Ia = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} + \frac{a}{2} \right ) \right ) \frac{ka^{3} }{R} | v_{z} |$,
Силы $\vec{F}_{3}$ и $\vec{F}_{4}$ действующие на боковые стороны рамки, очевидно, будут равны по величине и противоположны по знаку:
$| \vec{F}_{3} | = | \vec{F}_{4} | = \frac{ \left ( B_{0} + k \left (z_{l} - \frac{a}{2} \right ) \right ) + \left ( B_{0} + k \left (z_{l} + \frac{a}{2} \right ) \right ) }{2} Ia = (B_{0} + kz_{l} ) \frac{ka^{3} }{R} | v_{z} |$.
$\vec{F}_{3} + \vec{F}_{4} = 0$.
Следовательно, $v_{x} = const$, то есть рамка будет двигаться вдоль оси X с постоянной скоростью, равной начальной скорости $v_{0}$.
Таким образом, характер движения рамки в направлении оси Z определяется силами $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и силой тяжести $m \vec{g}$. При установившейся скорости $v$ рамки проекции скорости на ось Z постоянна, то есть ускорение $\vec{a}_{z}$ вдоль оси Z равно нулю:
$m | \vec{a}_{z} | = m | \vec{g} | + | \vec{F}_{1} | - | \vec{F}_{2} | = mg - \frac{k^{2}a^{4} }{R} |v_{z} | = 0$.
Отсюда находим проекцию $v_{уст.z}$ на ось Z установившейся скорости рамки:
$v_{уст.z} = \frac{mgR}{k^{2}a^{4} }$.
Установившаяся скорость рамки равна $v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{уст.z}^{2} }$, где $v_{0}$ - проекция скорости $v$ на ось X, равная, как мы показали, начальной скорости, сообщенной рамке. Таким образом.
$v_{0} = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{уст.z}^{2} } = \sqrt{ v^{2} - \left ( \frac{mgR}{k^{2} a^{4} } \right )^{2} }$.
Скорость $v_{уст.z}$ может быть найдена и из энергетических соображений. При установившемся движении рамки изменение за время $\Delta t$ потенциальной энергии рамки в поле тяжести Земли равно тепловой энергии, выделяющейся за это время в рамке:
$mgv_{уст.z} \Delta t = I_{уст}^{2} R \Delta t = \left ( \frac{ka^{2} }{R} \right )^{2} v_{уст.z}^{2}R \Delta t$,
Отсюда
$v_{уст.z} = \frac{mgR}{k^{2}a^{4} }$.
Проволочной квадратной рамке с периметром $4a$ и массой $m$ сообщают в горизонтальном направлении некоторую начальную скорость. Рамки движется в вертикальной плоскости, все время, находясь в магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки (См. рисунок). Индукция поля меняется по закону $B(z) = B(0) + kz$, где $k = const$. Сопротивление рамки равно $R$. Через некоторое время скорость рамки становится постоянной и равной $v$. Найти начальную скорость, сообщаемую рамке. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В отсутствие магнитного поля рамка двигалась бы в поле тяжести Земли с постоянной горизонтальной скоростью $\vec{v}_{0}$ вдоль оси X и равноускорено с ускорением свободного падения $\vec{g}$ вдоль оси $Z$. Очевидно, что движение рамки не изменилось бы, если бы она падала в однородном магнитном поле. В нашем случае поле - не однородное (вдоль оси Z) $B(z) = B_{0} + kz$, то есть индукция ноля линейно растет с ростом $z$; поэтому при падении рамки поток магнитной индукции $\Phi$, пронизывающим контур рамки, будет меняться и в контуре рамки, будет возникать ЭДС индукции. Поскольку рамка является замкнутым проводящим контуром, по ней потечет индукционный ток. В этом случае, согласно закону Ампера, на стороны рамки будут действовать силы со стороны магнитного поля. Найдем направления и величины этих сил.
Пусть в некоторый момент времени центр масс рамки находится в точке с координатами $x_{l}, z_{l}$ и проекции скорости центра масс на оси X и Z равны $v_{x}$ и $v_{z}$ (см. рисунок). Поток магнитной индукции $\Phi$, пронизывающий рамку в этот момент времени, равен
$\Phi = \frac{(B_{0} + k(z_{l} - a/2 ) ) + (B_{0} + k (z_{l} + a/2 ) ) }{2} a^{2} = (B_{0} + kz_{l} ) a^{2}$.
Здесь $B_{0} + k(z_{l} - a/2)$ и $B_{0} + k(z_{l} + a/2)$ - значения индукции магнитного ноля соответственно у верхней и нижней сторон рамки, поскольку зависимость $B(z)$ - линейная, для вычисления $\Phi$ мы пользуемся средним (по высоте $z$) значением индукции.
ЭДС индукции в рамке в данный момент времени равна
$| \mathcal{E} | = \frac{| \Delta \Phi |}{ \Delta t} = ka^{2} \frac{| \Delta z|}{ \Delta t} = ka^{2} | v_{z} |$,
индукционный ток равен
$I = \frac{| \mathcal{E} |}{R} = \frac{ka^{2} }{R} | v_{z} |$,
Согласно правилу Ленца, возникающий в рамке индукционный ток будет течь против часовой стрелки. По закону Ампера со стороны магнитного ноля на верхнюю сторону рамки будет действовать сила
$| \vec{F}_{1} | = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} - \frac{a}{2} \right ) \right ) Ia = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} - \frac{a}{2} \right ) \right ) \frac{ka^{3} }{R} | v_{z} |$,
на нижнюю сторону - сила
$| \vec{F}_{2} | = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} + \frac{a}{2} \right ) \right ) Ia = \left ( B_{0} + k \left (z_{l} + \frac{a}{2} \right ) \right ) \frac{ka^{3} }{R} | v_{z} |$,
Силы $\vec{F}_{3}$ и $\vec{F}_{4}$ действующие на боковые стороны рамки, очевидно, будут равны по величине и противоположны по знаку:
$| \vec{F}_{3} | = | \vec{F}_{4} | = \frac{ \left ( B_{0} + k \left (z_{l} - \frac{a}{2} \right ) \right ) + \left ( B_{0} + k \left (z_{l} + \frac{a}{2} \right ) \right ) }{2} Ia = (B_{0} + kz_{l} ) \frac{ka^{3} }{R} | v_{z} |$.
$\vec{F}_{3} + \vec{F}_{4} = 0$.
Следовательно, $v_{x} = const$, то есть рамка будет двигаться вдоль оси X с постоянной скоростью, равной начальной скорости $v_{0}$.
Таким образом, характер движения рамки в направлении оси Z определяется силами $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и силой тяжести $m \vec{g}$. При установившейся скорости $v$ рамки проекции скорости на ось Z постоянна, то есть ускорение $\vec{a}_{z}$ вдоль оси Z равно нулю:
$m | \vec{a}_{z} | = m | \vec{g} | + | \vec{F}_{1} | - | \vec{F}_{2} | = mg - \frac{k^{2}a^{4} }{R} |v_{z} | = 0$.
Отсюда находим проекцию $v_{уст.z}$ на ось Z установившейся скорости рамки:
$v_{уст.z} = \frac{mgR}{k^{2}a^{4} }$.
Установившаяся скорость рамки равна $v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{уст.z}^{2} }$, где $v_{0}$ - проекция скорости $v$ на ось X, равная, как мы показали, начальной скорости, сообщенной рамке. Таким образом.
$v_{0} = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{уст.z}^{2} } = \sqrt{ v^{2} - \left ( \frac{mgR}{k^{2} a^{4} } \right )^{2} }$.
Скорость $v_{уст.z}$ может быть найдена и из энергетических соображений. При установившемся движении рамки изменение за время $\Delta t$ потенциальной энергии рамки в поле тяжести Земли равно тепловой энергии, выделяющейся за это время в рамке:
$mgv_{уст.z} \Delta t = I_{уст}^{2} R \Delta t = \left ( \frac{ka^{2} }{R} \right )^{2} v_{уст.z}^{2}R \Delta t$,
Отсюда
$v_{уст.z} = \frac{mgR}{k^{2}a^{4} }$.
