Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12260
2019-12-25 
Перевернутый тонкостенный стакан с пробковым дном толщины $d$ плавает на границе раздела двух жидкостей с плотностями $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Верхняя часть стакана находится на высоте $H$ над границей раздела. Сечение стакана $S$. На какое расстояние поднимается стакан, если в дне стакана появится дырки?
Решение:
После того как в дне появится дырка, уровни раздела жидкостей внутри и снаружи стакана выровняются. При этом стакан должен начать движение вверх, так как выталкивающая сила увеличивается (возрастает давление снизу на пробковое дно, так как $\rho_{2} > \rho_{1}$). Единственный противодействующий эффект возникает из-за того, что при этом уменьшается силе, действующая снизу вверх на торец стенок стакана (стакан тонкостенный: значит, площадь торца $\Delta S \ll S$). Ясно, что в случае, когда увеличение выталкивающей силы не очень значительно (а что будет при небольших значениях величины $H - d$), стакан, всплыв на некоторое расстояние, которое мы обозначим через $x$, вновь окажется в равновесии. Запишем условия равновесия в первом и втором случае ($p_{0}$ - давление на границе раздела жидкостей, $L$ - общая высота стакана):
$mg + (p_{0} + \rho_{1} gH )S = (p_{0} + \rho_{2}g(L - H) ) \Delta S + ( \rho_{0} - \rho_{2} g(H - d))(S - \Delta S)$. (1)
$mg + (p_{0} + \rho_{1} g (H + x) )S = (p_{0} + \rho_{2}g(L - H - x) ) \Delta S + ( p_{0} - \rho_{1} g(H + x - d))(S - \Delta S)$. (2)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
$m = \rho_{1} HS - \rho_{2} HS + \rho_{1} dS + \rho_{2}L \Delta S - \rho_{2} d \Delta S$, ($1^{ \prime}$ )
$m = \rho_{1}dS + \rho_{2} L \Delta S - \rho_{2} H \Delta S - \rho _{2} x \Delta S + \rho_{1}H \Delta S + \rho_{1} x \Delta S - \rho_{1} d \Delta S$. ($2^{ \prime}$)
Приравняв правые части, получим после несложных преобразований:
$x = (H - d) \frac{S - \Delta S}{ \Delta S}$.
Стакан остановится при движении вверх, если будет выполнено условие $x < L - H$, или
$H - d < \frac{ \Delta S}{S} (L - d)$.
Если это условие не будет выполнено, стакан всплывет на поверхность.
Перевернутый тонкостенный стакан с пробковым дном толщины $d$ плавает на границе раздела двух жидкостей с плотностями $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Верхняя часть стакана находится на высоте $H$ над границей раздела. Сечение стакана $S$. На какое расстояние поднимается стакан, если в дне стакана появится дырки?
Решение:
После того как в дне появится дырка, уровни раздела жидкостей внутри и снаружи стакана выровняются. При этом стакан должен начать движение вверх, так как выталкивающая сила увеличивается (возрастает давление снизу на пробковое дно, так как $\rho_{2} > \rho_{1}$). Единственный противодействующий эффект возникает из-за того, что при этом уменьшается силе, действующая снизу вверх на торец стенок стакана (стакан тонкостенный: значит, площадь торца $\Delta S \ll S$). Ясно, что в случае, когда увеличение выталкивающей силы не очень значительно (а что будет при небольших значениях величины $H - d$), стакан, всплыв на некоторое расстояние, которое мы обозначим через $x$, вновь окажется в равновесии. Запишем условия равновесия в первом и втором случае ($p_{0}$ - давление на границе раздела жидкостей, $L$ - общая высота стакана):
$mg + (p_{0} + \rho_{1} gH )S = (p_{0} + \rho_{2}g(L - H) ) \Delta S + ( \rho_{0} - \rho_{2} g(H - d))(S - \Delta S)$. (1)
$mg + (p_{0} + \rho_{1} g (H + x) )S = (p_{0} + \rho_{2}g(L - H - x) ) \Delta S + ( p_{0} - \rho_{1} g(H + x - d))(S - \Delta S)$. (2)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
$m = \rho_{1} HS - \rho_{2} HS + \rho_{1} dS + \rho_{2}L \Delta S - \rho_{2} d \Delta S$, ($1^{ \prime}$ )
$m = \rho_{1}dS + \rho_{2} L \Delta S - \rho_{2} H \Delta S - \rho _{2} x \Delta S + \rho_{1}H \Delta S + \rho_{1} x \Delta S - \rho_{1} d \Delta S$. ($2^{ \prime}$)
Приравняв правые части, получим после несложных преобразований:
$x = (H - d) \frac{S - \Delta S}{ \Delta S}$.
Стакан остановится при движении вверх, если будет выполнено условие $x < L - H$, или
$H - d < \frac{ \Delta S}{S} (L - d)$.
Если это условие не будет выполнено, стакан всплывет на поверхность.
