Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1226
2016-10-20 
Тонкое проводящее кольцо радиусом $R$ и металлическая сфера меньшего радиуса $r$ размещены так, что их центры совпадают. Сфера заземлена тонким длинным проводником. Найдите потенциал точки, находящейся на оси кольца на расстоянии $x$ от его плоскости, если заряд кольца равен $Q$.
Решение:
Так как заземляющий сферу проводник является тонким и длинным, то можно пренебречь электрическим полем этого проводника и считать, что кольцо со сферой настолько удалены от других тел, что их влиянием можно пренебречь. В силу сказанного и с учётом того, что сфера расположена симметрично относительно кольца, можно считать, что заряд $Q$ распределён по кольцу равномерно.
Разобьём кольцо на малые элементы, каждый из которых можно считать точечным зарядом величины $\Delta Q$. Как известно, поверхность нулевого потенциала поля, создаваемого двумя не равными по величине и противоположными по знаку точечными зарядами, имеет вид сферы, окружающей меньший по модулю заряд. Следовательно, поле, создаваемое точечным зарядом $\Delta Q$, находящимся на расстоянии $R$ от центра заземлённой сферы, и зарядами, имеющимися на заземлённой сфере радиуса $r < R$, вне сферы должно совпадать с полем точечных зарядов $\Delta Q$ и $- \Delta q$ при определённых величине и расположении последнего. Из соображений симметрии следует, что заряд $- \Delta q$ должен находиться на прямой, соединяющей центр данной сферы и заряд $\Delta Q$. Кроме того, очевидно, что заряд $— \Delta q$ должен находиться внутри сферы. Если расстояние от заряда $- \Delta q$ до центра сферы равно $\rho$, то, поскольку все точки сферы имеют нулевой потенциал, должны выполняться соотношения:
$\frac{ \Delta Q}{R-r} - \frac{ \Delta q}{r - \rho} = 0, \frac{ \Delta Q}{R+r} - \frac{ \Delta q}{r + \rho} = 0$,
Отсюда $\rho = \frac{r^{2}}{R}$ и $\Delta q = \frac{r}{R} \Delta Q$.
Приведённые рассуждения справедливы для любого элемента кольца. Из сказанного следует, что поле вне сферы в рассматриваемой задаче эквивалентно полю двух коаксиальных колец — радиуса $R$ с зарядом $Q$ и радиуса $\rho$ с зарядом $- q = - \sum \Delta q = - \frac{r}{R} \sum \Delta Q = - \frac{r}{R} Q$. Поскольку потенциал поля кольца радиуса $R$ с равномерно распределённым по нему общим зарядом $Q$ на оси кольца на расстоянии $x$ от его плоскости равен $\phi_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$, то искомый потенциал:
$\phi (x) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \begin{cases}
0& \text{при} |x| < r;\\
\frac{1}{ \sqrt{R^{2}+x^{2}}} - \frac{r}{ \sqrt{r^{4} + x^{2}R^{2}}}& \text{при} |x| \geq r;\\
\end{cases} $
Тонкое проводящее кольцо радиусом $R$ и металлическая сфера меньшего радиуса $r$ размещены так, что их центры совпадают. Сфера заземлена тонким длинным проводником. Найдите потенциал точки, находящейся на оси кольца на расстоянии $x$ от его плоскости, если заряд кольца равен $Q$.
Решение:
Так как заземляющий сферу проводник является тонким и длинным, то можно пренебречь электрическим полем этого проводника и считать, что кольцо со сферой настолько удалены от других тел, что их влиянием можно пренебречь. В силу сказанного и с учётом того, что сфера расположена симметрично относительно кольца, можно считать, что заряд $Q$ распределён по кольцу равномерно.
Разобьём кольцо на малые элементы, каждый из которых можно считать точечным зарядом величины $\Delta Q$. Как известно, поверхность нулевого потенциала поля, создаваемого двумя не равными по величине и противоположными по знаку точечными зарядами, имеет вид сферы, окружающей меньший по модулю заряд. Следовательно, поле, создаваемое точечным зарядом $\Delta Q$, находящимся на расстоянии $R$ от центра заземлённой сферы, и зарядами, имеющимися на заземлённой сфере радиуса $r < R$, вне сферы должно совпадать с полем точечных зарядов $\Delta Q$ и $- \Delta q$ при определённых величине и расположении последнего. Из соображений симметрии следует, что заряд $- \Delta q$ должен находиться на прямой, соединяющей центр данной сферы и заряд $\Delta Q$. Кроме того, очевидно, что заряд $— \Delta q$ должен находиться внутри сферы. Если расстояние от заряда $- \Delta q$ до центра сферы равно $\rho$, то, поскольку все точки сферы имеют нулевой потенциал, должны выполняться соотношения:
$\frac{ \Delta Q}{R-r} - \frac{ \Delta q}{r - \rho} = 0, \frac{ \Delta Q}{R+r} - \frac{ \Delta q}{r + \rho} = 0$,
Отсюда $\rho = \frac{r^{2}}{R}$ и $\Delta q = \frac{r}{R} \Delta Q$.
Приведённые рассуждения справедливы для любого элемента кольца. Из сказанного следует, что поле вне сферы в рассматриваемой задаче эквивалентно полю двух коаксиальных колец — радиуса $R$ с зарядом $Q$ и радиуса $\rho$ с зарядом $- q = - \sum \Delta q = - \frac{r}{R} \sum \Delta Q = - \frac{r}{R} Q$. Поскольку потенциал поля кольца радиуса $R$ с равномерно распределённым по нему общим зарядом $Q$ на оси кольца на расстоянии $x$ от его плоскости равен $\phi_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$, то искомый потенциал:
$\phi (x) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \begin{cases}
0& \text{при} |x| < r;\\
\frac{1}{ \sqrt{R^{2}+x^{2}}} - \frac{r}{ \sqrt{r^{4} + x^{2}R^{2}}}& \text{при} |x| \geq r;\\
\end{cases} $
