Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12258
2019-12-25 
Радиус внутренней обоймы шарикоподшипника равен $r$, а внешней - $R$ (см. рисунок). Сколько оборотов сделает шарик между этими обоймами, если внешняя обойма сделает $n_{1}$, а внутренняя - $n_{2}$ оборотов вокруг оси?
Решение:
Условимся считать число оборотов, сделанных каждой обоймой против часовой стрелки, положительным, по часовой стрелке - отрицательным.
В соответствии с принципом независимости движений окончательное положение шарика будет одним и тем же при любой последовательности поворотов каждой из обойм. Важно только, чтобы суммарный угол поворота внешней обоймы был равен $\phi_{1} = 2 \pi n_{1}$, а внутренней - $\phi_{2} = 2 \pi n_{2}$. Поэтому представим каждый из углов в виде суммы двух слагаемых
$\phi_{1} = \alpha + \beta, \phi_{2} = \alpha + \gamma$,
Поворот обеих обойм на один и тот же угол $\alpha = 2 \pi n_{0}$ соответствует перемещению $\alpha \frac{R + r}{2}$ центра шарика по дуге окружности радиуса $\frac{R + r}{2}$. При этом точка, в которой шарик соприкасается с обоймой, не перемешается, по ней. Иными словами, качение шарика по поверхностям обойм отсутствует, а относительно неподвижной системы отсчета шарик поворачивается вместе с обоймами на тот же угол $\alpha$.
Углы $\beta = 2 \pi n_{3}$ и $\gamma = 2 \pi n_{4}$ выберем таким образом, чтобы при $\alpha = 0$ последовательные повороты внешней обоймы на угол $\beta$, а внутренней - на угол $\gamma$ возвращали центр шарика в исходную точку. В этом случае шарик будет катиться, по поверхностям обеих обойм.
Задача допускает однозначное решение лишь при условии отсутствия проскальзывания. Это означает, что длины дуг, представляющих собой следы точек касания на шарике и на обоймах, должны быть одинаковыми, то есть
$| \beta | R = | \gamma | r = | \Theta| \frac{R - r}{2}$ и $\beta R + \gamma r = 0$.
Здесь $\Theta$ - угол поворота шарика относительно неподвижной системы отсчета при $\alpha = 0$, а $\frac{R - r}{2}$ - радиус шарика. Из написанных уравнений следует:
$n_{1} = n_{0} + n_{3}, n_{2} = n_{0} + n_{4}, n_{3}R + n_{4}r = 0$.
Отсюда найдем число оборотов центра шарика вокруг общей оси обойм:
$n_{0} = \frac{n_{1}R + n_{2}r }{R + r}$.
За тот же промежуток времени шарик повернется относительно неподвижной системы отсчета на угол $\phi = \alpha - \Theta$, где $\Theta = \beta \frac{2R}{R - r}, \phi = 2 \pi n$.
Следовательно, если внешняя обойма сделает $n_{1}$, а внутренняя - $n_{2}$ оборотов, шарик, не проскальзывающий по обоймам, совершит
$n = \frac{n_{1}R - n_{2}r }{R - r}$
оборотов относительно неподвижного наблюдателя.
Радиус внутренней обоймы шарикоподшипника равен $r$, а внешней - $R$ (см. рисунок). Сколько оборотов сделает шарик между этими обоймами, если внешняя обойма сделает $n_{1}$, а внутренняя - $n_{2}$ оборотов вокруг оси?
Решение:
Условимся считать число оборотов, сделанных каждой обоймой против часовой стрелки, положительным, по часовой стрелке - отрицательным.
В соответствии с принципом независимости движений окончательное положение шарика будет одним и тем же при любой последовательности поворотов каждой из обойм. Важно только, чтобы суммарный угол поворота внешней обоймы был равен $\phi_{1} = 2 \pi n_{1}$, а внутренней - $\phi_{2} = 2 \pi n_{2}$. Поэтому представим каждый из углов в виде суммы двух слагаемых
$\phi_{1} = \alpha + \beta, \phi_{2} = \alpha + \gamma$,
Поворот обеих обойм на один и тот же угол $\alpha = 2 \pi n_{0}$ соответствует перемещению $\alpha \frac{R + r}{2}$ центра шарика по дуге окружности радиуса $\frac{R + r}{2}$. При этом точка, в которой шарик соприкасается с обоймой, не перемешается, по ней. Иными словами, качение шарика по поверхностям обойм отсутствует, а относительно неподвижной системы отсчета шарик поворачивается вместе с обоймами на тот же угол $\alpha$.
Углы $\beta = 2 \pi n_{3}$ и $\gamma = 2 \pi n_{4}$ выберем таким образом, чтобы при $\alpha = 0$ последовательные повороты внешней обоймы на угол $\beta$, а внутренней - на угол $\gamma$ возвращали центр шарика в исходную точку. В этом случае шарик будет катиться, по поверхностям обеих обойм.
Задача допускает однозначное решение лишь при условии отсутствия проскальзывания. Это означает, что длины дуг, представляющих собой следы точек касания на шарике и на обоймах, должны быть одинаковыми, то есть
$| \beta | R = | \gamma | r = | \Theta| \frac{R - r}{2}$ и $\beta R + \gamma r = 0$.
Здесь $\Theta$ - угол поворота шарика относительно неподвижной системы отсчета при $\alpha = 0$, а $\frac{R - r}{2}$ - радиус шарика. Из написанных уравнений следует:
$n_{1} = n_{0} + n_{3}, n_{2} = n_{0} + n_{4}, n_{3}R + n_{4}r = 0$.
Отсюда найдем число оборотов центра шарика вокруг общей оси обойм:
$n_{0} = \frac{n_{1}R + n_{2}r }{R + r}$.
За тот же промежуток времени шарик повернется относительно неподвижной системы отсчета на угол $\phi = \alpha - \Theta$, где $\Theta = \beta \frac{2R}{R - r}, \phi = 2 \pi n$.
Следовательно, если внешняя обойма сделает $n_{1}$, а внутренняя - $n_{2}$ оборотов, шарик, не проскальзывающий по обоймам, совершит
$n = \frac{n_{1}R - n_{2}r }{R - r}$
оборотов относительно неподвижного наблюдателя.
