Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12255
2019-12-25 
Поплавок, изготовленный из однородного материала, имеет форму чечевицы - тела, ограниченного двумя сферическими поверхностями радиусов $R_{1} = R_{2} = R = 3 см$. Максимальная толщина чечевицы $h = 4 см$; масса чечевицы $m_{1} =5 г$. В поплавок на всю толщину вдоль оси симметрии воткнута спица длиной $l = 10 см$ и массой $m_{2} = 3 г$. Устойчиво ли положение поплавка, когда он плавает на поверхности воды спицей вверх? Считать, что в жидкость погружена меньшая часть чечевицы.
Решение:
Убедиться в том, что в жидкость погружена меньшая часть чечевицы, можно, воспользовавшись данными, приведенными в условии задачи. Условие равновесия поплавка в положении "спицей вверх" - $\vec{F}_{т} + \vec{F}_{A} = \vec{0}$, или $| \vec{F}_{т} | - | \vec{F}_{A} | = 0$, где $| \vec{F}_{т} | = (m_{1} + m_{2}) | \vec{g}|$ - сила тяжести, действующая на поплавок со спицей, $| \vec{F}_{A} | = \rho_{в} | \vec{g} | V^{ \prime}$ - выталкивающая сила ($V^{ \prime}$ - объем погруженной в воду части поплавка). Из равенства
$(m_{1} + m_{2})| \vec{g} | = \rho_{в} | \vec{g} | V^{ \prime}$
определяем $V^{ \prime}$:
$V^{ \prime} = \frac{m_{1} + m_{2} }{ \rho_{в}} = 8 см^{2}$.
Объем половины чечевицы (объем шарового сегмента) равен
$V = \frac{1}{6} \pi h_{1} (3r^{2} + h_{1}^{2}) \approx 29 см^{3}$
(см. рис.). Условие $V^{ \prime} < V$ и означает, что в воду погружена меньшая часть чечевицы.
Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости поплавка в положении "спицей вверх". Будем считать, что при малом отклонении поплавка, когда спина составляет малый угол $\alpha$ с вертикалью (рис.), погруженная в волу часть поплавка по-прежнему имеет форму шарового сегмента н осадка поплавка не меняется (Отклонение поплавка - это поворот его вокруг точки О. то есть вокруг центра сферы, ограничивающей нижнюю часть поплавка.) Это условие означает, что, как и раньше, $\vec{F}_{т} + \vec{F}_{A} = \vec{0}$. Если в результате отклонения появляющиеся моменты сил стремятся возвратить поплавок в прежнее положение, это положение - "спицей вверх" - устойчиво; если моменты сил таковы, что поплавок будет продолжать отклоняться, положение "спицей вверх" неустойчиво.
Пока поплавок был в положении равновесия, силы $\vec{F}_{т}$ и $\vec{F}_{A}$ были приложены вдоль одной прямой - вертикали, проходящей через спицу. Сила $\vec{F}_{т}$, приложена в точке С - в центре масс поплавка со спицей, а сила $\vec{F}_{A}$ приложена в точке О (сила $\vec{F}_{A}$ есть результирующая сил давления, действующих со стороны воды на поплавок). Точка С находится на расстоянии $x = |DC|$ (см. рис.) от дна поплавка таком, что
$m_{1} \left ( \frac{l}{2} - x \right ) = m_{2} \left ( x - \frac{h}{2} \right )$;
отсюда
$x = \frac{ \frac{m_{1}l }{2} + \frac{m_{2}h }{2} }{m_{1} + m_{2} } = 3,125 см$
Точка О находится на расстоянии $|DO|= R = 3 см$ от дна поплавка. Следовательно, точка С лежит выше точки О.
При малом отклонении поплавка (при повороте вокруг точки О) точка приложения силы $\vec{F}_{A}$ остается прежней - точка О; точка же С смещается с вертикали DC. Таким образом, при отклонении поплавка на него действует пара сил; моменты этих сил стремятся повернуть поплавок в сторону дальнейшего отклонения от положения равновесия (на рисунке - против часовой стрелки).
Следовательно, положение поплавка "спицей вверх" - положение неустойчивого равновесия.
Поплавок, изготовленный из однородного материала, имеет форму чечевицы - тела, ограниченного двумя сферическими поверхностями радиусов $R_{1} = R_{2} = R = 3 см$. Максимальная толщина чечевицы $h = 4 см$; масса чечевицы $m_{1} =5 г$. В поплавок на всю толщину вдоль оси симметрии воткнута спица длиной $l = 10 см$ и массой $m_{2} = 3 г$. Устойчиво ли положение поплавка, когда он плавает на поверхности воды спицей вверх? Считать, что в жидкость погружена меньшая часть чечевицы.
Решение:
Убедиться в том, что в жидкость погружена меньшая часть чечевицы, можно, воспользовавшись данными, приведенными в условии задачи. Условие равновесия поплавка в положении "спицей вверх" - $\vec{F}_{т} + \vec{F}_{A} = \vec{0}$, или $| \vec{F}_{т} | - | \vec{F}_{A} | = 0$, где $| \vec{F}_{т} | = (m_{1} + m_{2}) | \vec{g}|$ - сила тяжести, действующая на поплавок со спицей, $| \vec{F}_{A} | = \rho_{в} | \vec{g} | V^{ \prime}$ - выталкивающая сила ($V^{ \prime}$ - объем погруженной в воду части поплавка). Из равенства
$(m_{1} + m_{2})| \vec{g} | = \rho_{в} | \vec{g} | V^{ \prime}$
определяем $V^{ \prime}$:
$V^{ \prime} = \frac{m_{1} + m_{2} }{ \rho_{в}} = 8 см^{2}$.
Объем половины чечевицы (объем шарового сегмента) равен
$V = \frac{1}{6} \pi h_{1} (3r^{2} + h_{1}^{2}) \approx 29 см^{3}$
(см. рис.). Условие $V^{ \prime} < V$ и означает, что в воду погружена меньшая часть чечевицы.
Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости поплавка в положении "спицей вверх". Будем считать, что при малом отклонении поплавка, когда спина составляет малый угол $\alpha$ с вертикалью (рис.), погруженная в волу часть поплавка по-прежнему имеет форму шарового сегмента н осадка поплавка не меняется (Отклонение поплавка - это поворот его вокруг точки О. то есть вокруг центра сферы, ограничивающей нижнюю часть поплавка.) Это условие означает, что, как и раньше, $\vec{F}_{т} + \vec{F}_{A} = \vec{0}$. Если в результате отклонения появляющиеся моменты сил стремятся возвратить поплавок в прежнее положение, это положение - "спицей вверх" - устойчиво; если моменты сил таковы, что поплавок будет продолжать отклоняться, положение "спицей вверх" неустойчиво.
Пока поплавок был в положении равновесия, силы $\vec{F}_{т}$ и $\vec{F}_{A}$ были приложены вдоль одной прямой - вертикали, проходящей через спицу. Сила $\vec{F}_{т}$, приложена в точке С - в центре масс поплавка со спицей, а сила $\vec{F}_{A}$ приложена в точке О (сила $\vec{F}_{A}$ есть результирующая сил давления, действующих со стороны воды на поплавок). Точка С находится на расстоянии $x = |DC|$ (см. рис.) от дна поплавка таком, что
$m_{1} \left ( \frac{l}{2} - x \right ) = m_{2} \left ( x - \frac{h}{2} \right )$;
отсюда
$x = \frac{ \frac{m_{1}l }{2} + \frac{m_{2}h }{2} }{m_{1} + m_{2} } = 3,125 см$
Точка О находится на расстоянии $|DO|= R = 3 см$ от дна поплавка. Следовательно, точка С лежит выше точки О.
При малом отклонении поплавка (при повороте вокруг точки О) точка приложения силы $\vec{F}_{A}$ остается прежней - точка О; точка же С смещается с вертикали DC. Таким образом, при отклонении поплавка на него действует пара сил; моменты этих сил стремятся повернуть поплавок в сторону дальнейшего отклонения от положения равновесия (на рисунке - против часовой стрелки).
Следовательно, положение поплавка "спицей вверх" - положение неустойчивого равновесия.
