Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12254
2019-12-25 
Небольшой станок массой $m = 200 кг$ вибрирует при работе из-за неоднородности тяжелого маховика, вращающегося с угловой скоростью $600 об/с$. Чтобы снизить вибрации перекрытия в цехе, в котором установлен станок, под станину положили упругую прокладку толщиной $h = 10 см$ из материала с модулем упругости $E =3,1 \cdot 10^{8} H/м^{2}$. Площадь основания станины $S = 2 м^{2}$. Приведет ли установка прокладки к уменьшению вибраций перекрытия?
Решение:
Колебания станка, вызванные вращением несбалансированного маховика приводят к появлению гармонической силы $F = F_{0} \sin \omega t$, действующей со стороны станка на опору ($F_{0}$ - амплитуда, $\omega = 2 \pi f$ - круговая частота, $f$ - частота силы). Взаимодействие станка и перекрытия, разделенных упругой прокладкой, можно исследовать на основе упрощенной системы двух точечных масс $m$ и $M$, соединенных пружиной с жесткостью $k$ (см. рисунок: роль масс играют соответственно станок и перекрытие, а пружина имитирует прокладку между ними). Жесткость $k$ пружины (жесткость прокладки) равна
$k = \frac{ES}{h}$. (1)
Масса перекрытия $M$ намного превышает массу станка $m$. Действительно, если перекрытие сделано из железобетона (плотность около $2300 кг/м^{3}$) и имеет толщину примерно $0,2 м$, то масса лишь одного квадратного метра (поверхностная плотность) перекрытия составляет 500 кг, что уже намного превышает массу станка (по условию 200 кг).
Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ - смещения масс $m$ и $M$ вдоль оси ОХ относительно координат масс в невозмущенном состоянии. Тогда ускорения масс, согласно второму закону Ньютона, можно записать в виде
$\vec{a}_{1} = x_{1}^{ \prime \prime} = - \frac{k \Delta h}{m} + \frac{F}{m} = \frac{k}{m} ( x_{2} - x_{1} ) + \frac{F_{0} }{m} \sin \omega t$, (2)
$\vec{a}_{2} = \frac{k \Delta h}{M} = \frac{k}{M} (x_{1} - x_{2} )$
При гармонических колебаниях $x_{1} = A_{1} \sin \omega t, x_{2} = A_{2} \sin \omega t, a_{1} = - \omega^{2}A_{1} \sin \omega t, a_{2} = - \omega^{2} A_{2} \sin \omega t$, где $A_{1}, A_{2}$ -амплитуды колебаний масс $m$ и $M$ соответственно. Подставляя эти выражения в (2), получим
$\left ( - \omega^{2} + \frac{k}{m} \right ) A_{1} - \frac{k}{m} A_{2} = \frac{F_{0} }{m}$,
$- \frac{k}{m} A_{1} + \left ( - \omega^{2} + \frac{k}{m} \right ) A_{2} = 0$,
или
$- \omega^{2} A_{1} + \frac{k}{m} \left ( A_{1} - A_{2} \right ) = \frac{F_{0} }{m}$, ($2^{ \prime}$)
$- \omega^{2} A_{2} - \frac{k}{m} \left ( A_{1} - A_{2} \right ) = 0$.
Отсюда находим
$A_{1} - A_{2} = \frac{F_{0} }{m} \frac{1}{ - \omega^{2} + \frac{k(M + m)}{mM} } = \frac{F_{0} }{m ( \omega_{p}^{2} - \omega ) }$. ($2^{ \prime \prime}$)
где
$\omega_{p} = \sqrt{ \frac{k(m + M)}{mM} }$
- резонансная круговая частота гармонических колебаний системы масс, соединенных пружиной. При $M \gg m$
$\omega_{p} \approx \sqrt{ \frac{k}{m} }$ (3)
Из ($2^{ \prime}$) ($2^{ \prime \prime}$) определяем амплитуду смешения массы $M$ :
$A_{2} = \frac{F_{0} }{(m + M) \omega^{2} } \frac{1}{ \left ( \right )^{2} - 1 }$.
В отсутствие прокладки сила $F$ сообщает системе станок перекрытие с массой $m + M$ ускорение
$| \vec{a}_{0} | = \frac{| \vec{F} |}{m + M}$.
Амплитуду $A_{0}$ колебаний в этом случае находим из условии $a_{0} = - \omega^{2} A_{0} \sin \omega t$:
$A_{0} = - \frac{F_{0} }{(m + M) \omega^{2} }$.
Таким образом, отношение амплитуд смещения перекрытия после установки прокладки и до этого равно
$\frac{A_{2} }{A_{0} } = \frac{1}{1 - \left ( \frac{ \omega }{ \omega_{p} } \right )^{2} } = \frac{1}{1 - \left ( \frac{f}{f_{p} } \right )^{2} }$. (4)
где
$f_{p} = \frac{1}{2 \pi} \omega_{p} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ES}{hm} } \approx 885 Гц$.
(См. (1) и (3)). Так как по условию $f = 600 Гц$, из (4) находим
$\frac{A_{2} }{A_{0} } = \frac{1}{1 - \left ( \frac{600}{885} \right )^{2} } \approx 1,85$.
то есть вибрации после установки прокладки усилятся.
Как же уменьшить воздействие на перекрытие? Как видно из формулы (4), этого можно добиться, выбирая параметры прокладки таким образом, чтобы выполнялось условие $f_{p} \ll f$, то есть следует выбирать материал для прокладки с малым модулем Юнга или увеличивать толщину прокладки. Так, если $E = 3,1 \cdot 10^{6} Н/м^{2}$, то есть в 100 раз меньше, чем по условии» задачи, то можно получить
$\left | \frac{A_{20} }{A_{20}^{ \prime} } \right | \approx 0,02$
то есть вибрации перекрытия значительно уменьшатся.
Небольшой станок массой $m = 200 кг$ вибрирует при работе из-за неоднородности тяжелого маховика, вращающегося с угловой скоростью $600 об/с$. Чтобы снизить вибрации перекрытия в цехе, в котором установлен станок, под станину положили упругую прокладку толщиной $h = 10 см$ из материала с модулем упругости $E =3,1 \cdot 10^{8} H/м^{2}$. Площадь основания станины $S = 2 м^{2}$. Приведет ли установка прокладки к уменьшению вибраций перекрытия?
Решение:
Колебания станка, вызванные вращением несбалансированного маховика приводят к появлению гармонической силы $F = F_{0} \sin \omega t$, действующей со стороны станка на опору ($F_{0}$ - амплитуда, $\omega = 2 \pi f$ - круговая частота, $f$ - частота силы). Взаимодействие станка и перекрытия, разделенных упругой прокладкой, можно исследовать на основе упрощенной системы двух точечных масс $m$ и $M$, соединенных пружиной с жесткостью $k$ (см. рисунок: роль масс играют соответственно станок и перекрытие, а пружина имитирует прокладку между ними). Жесткость $k$ пружины (жесткость прокладки) равна
$k = \frac{ES}{h}$. (1)
Масса перекрытия $M$ намного превышает массу станка $m$. Действительно, если перекрытие сделано из железобетона (плотность около $2300 кг/м^{3}$) и имеет толщину примерно $0,2 м$, то масса лишь одного квадратного метра (поверхностная плотность) перекрытия составляет 500 кг, что уже намного превышает массу станка (по условию 200 кг).
Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ - смещения масс $m$ и $M$ вдоль оси ОХ относительно координат масс в невозмущенном состоянии. Тогда ускорения масс, согласно второму закону Ньютона, можно записать в виде
$\vec{a}_{1} = x_{1}^{ \prime \prime} = - \frac{k \Delta h}{m} + \frac{F}{m} = \frac{k}{m} ( x_{2} - x_{1} ) + \frac{F_{0} }{m} \sin \omega t$, (2)
$\vec{a}_{2} = \frac{k \Delta h}{M} = \frac{k}{M} (x_{1} - x_{2} )$
При гармонических колебаниях $x_{1} = A_{1} \sin \omega t, x_{2} = A_{2} \sin \omega t, a_{1} = - \omega^{2}A_{1} \sin \omega t, a_{2} = - \omega^{2} A_{2} \sin \omega t$, где $A_{1}, A_{2}$ -амплитуды колебаний масс $m$ и $M$ соответственно. Подставляя эти выражения в (2), получим
$\left ( - \omega^{2} + \frac{k}{m} \right ) A_{1} - \frac{k}{m} A_{2} = \frac{F_{0} }{m}$,
$- \frac{k}{m} A_{1} + \left ( - \omega^{2} + \frac{k}{m} \right ) A_{2} = 0$,
или
$- \omega^{2} A_{1} + \frac{k}{m} \left ( A_{1} - A_{2} \right ) = \frac{F_{0} }{m}$, ($2^{ \prime}$)
$- \omega^{2} A_{2} - \frac{k}{m} \left ( A_{1} - A_{2} \right ) = 0$.
Отсюда находим
$A_{1} - A_{2} = \frac{F_{0} }{m} \frac{1}{ - \omega^{2} + \frac{k(M + m)}{mM} } = \frac{F_{0} }{m ( \omega_{p}^{2} - \omega ) }$. ($2^{ \prime \prime}$)
где
$\omega_{p} = \sqrt{ \frac{k(m + M)}{mM} }$
- резонансная круговая частота гармонических колебаний системы масс, соединенных пружиной. При $M \gg m$
$\omega_{p} \approx \sqrt{ \frac{k}{m} }$ (3)
Из ($2^{ \prime}$) ($2^{ \prime \prime}$) определяем амплитуду смешения массы $M$ :
$A_{2} = \frac{F_{0} }{(m + M) \omega^{2} } \frac{1}{ \left ( \right )^{2} - 1 }$.
В отсутствие прокладки сила $F$ сообщает системе станок перекрытие с массой $m + M$ ускорение
$| \vec{a}_{0} | = \frac{| \vec{F} |}{m + M}$.
Амплитуду $A_{0}$ колебаний в этом случае находим из условии $a_{0} = - \omega^{2} A_{0} \sin \omega t$:
$A_{0} = - \frac{F_{0} }{(m + M) \omega^{2} }$.
Таким образом, отношение амплитуд смещения перекрытия после установки прокладки и до этого равно
$\frac{A_{2} }{A_{0} } = \frac{1}{1 - \left ( \frac{ \omega }{ \omega_{p} } \right )^{2} } = \frac{1}{1 - \left ( \frac{f}{f_{p} } \right )^{2} }$. (4)
где
$f_{p} = \frac{1}{2 \pi} \omega_{p} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ES}{hm} } \approx 885 Гц$.
(См. (1) и (3)). Так как по условию $f = 600 Гц$, из (4) находим
$\frac{A_{2} }{A_{0} } = \frac{1}{1 - \left ( \frac{600}{885} \right )^{2} } \approx 1,85$.
то есть вибрации после установки прокладки усилятся.
Как же уменьшить воздействие на перекрытие? Как видно из формулы (4), этого можно добиться, выбирая параметры прокладки таким образом, чтобы выполнялось условие $f_{p} \ll f$, то есть следует выбирать материал для прокладки с малым модулем Юнга или увеличивать толщину прокладки. Так, если $E = 3,1 \cdot 10^{6} Н/м^{2}$, то есть в 100 раз меньше, чем по условии» задачи, то можно получить
$\left | \frac{A_{20} }{A_{20}^{ \prime} } \right | \approx 0,02$
то есть вибрации перекрытия значительно уменьшатся.
