Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1225
2016-10-20 
На длинную непроводящую струну, продетую по диаметру металлического шара через два небольших отверстия в нём, надета маленькая заряженная бусинка. Шар и бусинка имеют заряды одного знака (по величине заряд бусинки много меньше). Бусинке сообщили скорость, достаточную для того, чтобы «пролететь» через шар. Нарисуйте график зависимости ускорения бусинки от расстояния до центра шара.
Решение:
Направим ось X вдоль струны в направлении движения бусинки (см. рис.).
Так как ускорение бусинки прямо пропорционально действующей на неё силе ($a_{x} = F_{x}/m$), то для решения задачи достаточно определить, как изменяется сила взаимодействия бусинки с шаром. Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом изображений (см. решения задач 1223 и 1224). Из соображений симметрии ясно, что фиктивный точечный заряд-изображение $q^{ \prime}$, к действию которого сводится влияние наведённых на поверхности шара зарядов, будет располагаться внутри шара на оси X, и поэтому интересующая нас сила и ускорение также направлены вдоль оси X. Знак заряда $q^{ \prime}$ будет противоположен знаку заряда бусинки $q$, который для определённости можно считать, например, положительным. Таким образом, взаимодействие бусинки с шаром можно представить, как суперпозицию отталкивания бусинки от положительного заряда шара $+Q$, который можно считать расположенным в центре шара, и притяжения бусинки к заряду-изображению $q^{ \prime}$. При движении бусинки из бесконечности (в положительном направлении оси X) к поверхности шара величина $|q^{ \prime}|$ будет возрастать, начиная с нулевого значения, а само изображение $q^{ \prime}$ будет смещаться в сторону бусинки — от центра шара к его периферии. Поэтому при больших расстояниях между бусинкой и поверхностью шара будет преобладать сила отталкивания бусинки от заряда $Q$ (проекция этой силы на ось X отрицательна).
По мере приближения бусинки к шару сила притяжения бусинки к заряду $q^{ \prime}$ будет играть всё большую роль. На некотором расстоянии между бусинкой и шаром сила их взаимодействия обратится в ноль (точка А на графике). При дальнейшем приближении бусинки к шару начнёт преобладать сила притяжения бусинки к заряду $q^{ \prime}$ (проекция силы сменит знак). Величина этой силы притяжения будет возрастать до момента, когда бусинка влетит в отверстие (точка В). Как известно, равномерно распределённый по поверхности шара заряд не создаёт внутри шара электрического поля. Следовательно бусинка, оказавшись внутри шара, будет только притягиваться к своему изображению $q^{ \prime}$, которое, как следует из соображений симметрии, окажется снаружи шара. Поэтому при пролёте бусинки через отверстие действующая на неё сила очень быстро, практически скачком, изменит знак (точка С). При дальнейшем движении бусинки к центру шара изображение будет удаляться в бесконечность, причём $|$q^{ \prime}$|$ будет уменьшаться. Поэтому сила притяжения бусинки к $q^{ \prime}$ также будет уменьшаться и обратится в ноль, когда бусинка окажется в центре шара. Далее, ввиду центральной симметрии системы, события будут повторяться, но проекция ускорения на ось X на каждом из участков движения бусинки изменит знак на противоположный по сравнению с движением на соответствующем участке по другую сторону от центра шара.
На длинную непроводящую струну, продетую по диаметру металлического шара через два небольших отверстия в нём, надета маленькая заряженная бусинка. Шар и бусинка имеют заряды одного знака (по величине заряд бусинки много меньше). Бусинке сообщили скорость, достаточную для того, чтобы «пролететь» через шар. Нарисуйте график зависимости ускорения бусинки от расстояния до центра шара.
Решение:
Направим ось X вдоль струны в направлении движения бусинки (см. рис.).
Так как ускорение бусинки прямо пропорционально действующей на неё силе ($a_{x} = F_{x}/m$), то для решения задачи достаточно определить, как изменяется сила взаимодействия бусинки с шаром. Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом изображений (см. решения задач 1223 и 1224). Из соображений симметрии ясно, что фиктивный точечный заряд-изображение $q^{ \prime}$, к действию которого сводится влияние наведённых на поверхности шара зарядов, будет располагаться внутри шара на оси X, и поэтому интересующая нас сила и ускорение также направлены вдоль оси X. Знак заряда $q^{ \prime}$ будет противоположен знаку заряда бусинки $q$, который для определённости можно считать, например, положительным. Таким образом, взаимодействие бусинки с шаром можно представить, как суперпозицию отталкивания бусинки от положительного заряда шара $+Q$, который можно считать расположенным в центре шара, и притяжения бусинки к заряду-изображению $q^{ \prime}$. При движении бусинки из бесконечности (в положительном направлении оси X) к поверхности шара величина $|q^{ \prime}|$ будет возрастать, начиная с нулевого значения, а само изображение $q^{ \prime}$ будет смещаться в сторону бусинки — от центра шара к его периферии. Поэтому при больших расстояниях между бусинкой и поверхностью шара будет преобладать сила отталкивания бусинки от заряда $Q$ (проекция этой силы на ось X отрицательна).
По мере приближения бусинки к шару сила притяжения бусинки к заряду $q^{ \prime}$ будет играть всё большую роль. На некотором расстоянии между бусинкой и шаром сила их взаимодействия обратится в ноль (точка А на графике). При дальнейшем приближении бусинки к шару начнёт преобладать сила притяжения бусинки к заряду $q^{ \prime}$ (проекция силы сменит знак). Величина этой силы притяжения будет возрастать до момента, когда бусинка влетит в отверстие (точка В). Как известно, равномерно распределённый по поверхности шара заряд не создаёт внутри шара электрического поля. Следовательно бусинка, оказавшись внутри шара, будет только притягиваться к своему изображению $q^{ \prime}$, которое, как следует из соображений симметрии, окажется снаружи шара. Поэтому при пролёте бусинки через отверстие действующая на неё сила очень быстро, практически скачком, изменит знак (точка С). При дальнейшем движении бусинки к центру шара изображение будет удаляться в бесконечность, причём $|$q^{ \prime}$|$ будет уменьшаться. Поэтому сила притяжения бусинки к $q^{ \prime}$ также будет уменьшаться и обратится в ноль, когда бусинка окажется в центре шара. Далее, ввиду центральной симметрии системы, события будут повторяться, но проекция ускорения на ось X на каждом из участков движения бусинки изменит знак на противоположный по сравнению с движением на соответствующем участке по другую сторону от центра шара.
