Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12245
2019-12-25 
Настенные часы с маятником имеют массу $M = 5 кг$. Масса груза на конце легкого маятника $m = 150 г$. Какая ошибка, а показаниях часов накопится за сутки, если часы подвесить к потолку на двух длинных параллельных шнурах? Считать, что часы, прикрепленные к стене, идут точно.
Решение:
Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закрепленных на стене, могут раскачиваться. Если шнуры параллельны, то при раскачивании движение корпуса часов будет поступательным, то есть все точки часов (кроме маятника) будут двигаться одинаково. Это значит, что всю массу часов без маятника ($M-m$) можно считать сосредоточенной в одной точке, например в точке А подвеса маятника (рис.).
Перемещения корпуса часов при их раскачивании будут невелики - много меньше амплитуды колебаний маятника часов (это будет показано ниже). Поэтому длинные шнуры все время будут оставаться почти вертикальными. Условие это будет выполняться тем лучше, чем длиннее шнуры.
Таким образом, действующие на часы силы натяжения шнуров можно считать направленными вертикально вверх. Силы тяжести, действующие на корпус и на маятник, направлены вертикально вниз. Других внешних сил нет. Следовательно, в горизонтальном направлении на рассматриваемую систему (корпус часов + маятник) никакие внешние силы не действуют, и центр масс этой системы по горизонтали перемешаться не будет.
Теперь ясно, что при колебаниях маятника корпус часов (точка А) будет совершать колебания в противофазе - так, чтобы центр масс (точка С на рисунке) все время оставался на одной вертикали. Смещения груза маятника $s_{1}$ и корпуса часов $s_{2}$ в любой момент будут относиться обратно пропорционально соответствующим массам:
$\frac{s_{1}}{s_{2} } = \frac{M - m}{m}$. (1)
Из формулы (1) видно, что при $m \ll M$ амплитуда $S_{2}$ раскачивания корпуса много меньше амплитуды $S_{1}$ колебаний маятника часов ($S_{2} \ll S_{1}$).
Остается выяснить, каким будет период $T_{1}$ колебаний маятника. Глядя на рисунок и учитывая, что точка С по горизонтали не перемещается, нетрудно сообразить, что движение груза маятника m можно приближенно представить как свободные колебания математического маятника длиной (Строго говоря, точка С совершает перемещения по вертикали; однако при небольшой амплитуде колебаний маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.)
Из подобия заштрихованных на рисунке треугольников видно, что
$\frac{l}{l_{1} } = 1 + \frac{s_{2} }{s_{1} }$.
Подставляя сюда $s_{2}/s_{1}$ из соотношения (1), находим
$\frac{l_{1} }{l} = 1 - \frac{m}{M}$. (2)
Период колебаний математического маятника пропорционален квадратному корню из его длины: $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$. Так как $l_{1} < l$, период $T$, колебаний маятника в подвешенных на длинных шнурах часах меньше периода $T$ колебаний маятника в закрепленных на стене часах. Значит, подвешенные на шнурах часы будут спешить
Учитывая соотношение (2), найдем отношение $T_{1}/T$:
$\frac{T_{1} }{T} = \sqrt{ \frac{l_{1} }{l} } = \sqrt{ 1 - \frac{m}{M} } \approx 1 - \frac{m}{2M}$. (3)
(Здесь мм учли, что по условию задачи $m/M =0,03 \ll 1$, и воспользовались приближенной формулой $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}$, справедливой при $|x| \ll 1$.)
Теперь из (3) легко найти уменьшение периода $\Delta T = T - T_{1}$:
$\Delta T = T \frac{m}{2M}$.
Подставив численные значения $m$ и $M$ из условия, найдем: $\Delta T = 0,015T$. За сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперед на 21 мин 36 с.
Настенные часы с маятником имеют массу $M = 5 кг$. Масса груза на конце легкого маятника $m = 150 г$. Какая ошибка, а показаниях часов накопится за сутки, если часы подвесить к потолку на двух длинных параллельных шнурах? Считать, что часы, прикрепленные к стене, идут точно.
Решение:
Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закрепленных на стене, могут раскачиваться. Если шнуры параллельны, то при раскачивании движение корпуса часов будет поступательным, то есть все точки часов (кроме маятника) будут двигаться одинаково. Это значит, что всю массу часов без маятника ($M-m$) можно считать сосредоточенной в одной точке, например в точке А подвеса маятника (рис.).
Перемещения корпуса часов при их раскачивании будут невелики - много меньше амплитуды колебаний маятника часов (это будет показано ниже). Поэтому длинные шнуры все время будут оставаться почти вертикальными. Условие это будет выполняться тем лучше, чем длиннее шнуры.
Таким образом, действующие на часы силы натяжения шнуров можно считать направленными вертикально вверх. Силы тяжести, действующие на корпус и на маятник, направлены вертикально вниз. Других внешних сил нет. Следовательно, в горизонтальном направлении на рассматриваемую систему (корпус часов + маятник) никакие внешние силы не действуют, и центр масс этой системы по горизонтали перемешаться не будет.
Теперь ясно, что при колебаниях маятника корпус часов (точка А) будет совершать колебания в противофазе - так, чтобы центр масс (точка С на рисунке) все время оставался на одной вертикали. Смещения груза маятника $s_{1}$ и корпуса часов $s_{2}$ в любой момент будут относиться обратно пропорционально соответствующим массам:
$\frac{s_{1}}{s_{2} } = \frac{M - m}{m}$. (1)
Из формулы (1) видно, что при $m \ll M$ амплитуда $S_{2}$ раскачивания корпуса много меньше амплитуды $S_{1}$ колебаний маятника часов ($S_{2} \ll S_{1}$).
Остается выяснить, каким будет период $T_{1}$ колебаний маятника. Глядя на рисунок и учитывая, что точка С по горизонтали не перемещается, нетрудно сообразить, что движение груза маятника m можно приближенно представить как свободные колебания математического маятника длиной (Строго говоря, точка С совершает перемещения по вертикали; однако при небольшой амплитуде колебаний маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.)
Из подобия заштрихованных на рисунке треугольников видно, что
$\frac{l}{l_{1} } = 1 + \frac{s_{2} }{s_{1} }$.
Подставляя сюда $s_{2}/s_{1}$ из соотношения (1), находим
$\frac{l_{1} }{l} = 1 - \frac{m}{M}$. (2)
Период колебаний математического маятника пропорционален квадратному корню из его длины: $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$. Так как $l_{1} < l$, период $T$, колебаний маятника в подвешенных на длинных шнурах часах меньше периода $T$ колебаний маятника в закрепленных на стене часах. Значит, подвешенные на шнурах часы будут спешить
Учитывая соотношение (2), найдем отношение $T_{1}/T$:
$\frac{T_{1} }{T} = \sqrt{ \frac{l_{1} }{l} } = \sqrt{ 1 - \frac{m}{M} } \approx 1 - \frac{m}{2M}$. (3)
(Здесь мм учли, что по условию задачи $m/M =0,03 \ll 1$, и воспользовались приближенной формулой $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}$, справедливой при $|x| \ll 1$.)
Теперь из (3) легко найти уменьшение периода $\Delta T = T - T_{1}$:
$\Delta T = T \frac{m}{2M}$.
Подставив численные значения $m$ и $M$ из условия, найдем: $\Delta T = 0,015T$. За сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперед на 21 мин 36 с.
