Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12243
2019-12-25 
Две пружинки с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ присоединены каждая одним концом к вертикальной стене, другим - к грузу массы $m$, лежащему на горизонтальном столе. В начальный момент пружина с жесткостью $k_{1}$, растянута на величину $l_{1}$, а пружина с жесткостью $k_{2}$ сжата на величину $l_{2}$. Груз отпускают. Найти амплитуду и период колебаний груза. Трением пренебречь.
Решение:
Примем координату центра груза в начальный момент за нуль (см. рисунок). Тогда зависимость сил упругости, действующих на груз, от координаты $x$ груза будет следующая:
$F_{1}(x) = - (l_{1} + x)k_{1}$,
$F_{2}(x) = (l_{2} - x)k_{2}$.
Здесь $(l_{1} + x), - (l_{2} - x)$ - алгебраические значения удлинений первой и второй пружин соответственно. В момент прохождения грузом положения равновесия суммарная сила $F$, действующая на груз со стороны пружин, равна нулю. Обозначим $x_{0}$ координату груза в этот момент. Тогда
$F(x_{0}) = F_{1}(x_{0} ) + F_{2}(x_{0} ) = - (l_{1} + x_{0} )k_{1} + (l_{2} - x_{0}) k_{2} = 0$.
откуда
$x_{0} = \frac{l_{2}k_{2} - l_{1}k_{1} }{k_{1} + k_{2} }$.
Амплитуда колебаний груза равна, очевидно,
$A = |x_{0} | = \frac{| l_{2}k_{2} - l_{1} k_{1} |}{k_{1} + k_{2} }$.
Чтобы найти период колебаний, запишем, как зависит возвращающая сила $F$ от отклонения груза от положения равновесия:
$F = F_{1} + F_{2} = - x (k_{1} + k_{2} ) + (l_{2}k_{2} - l_{1}k_{1} ) = - x (k_{1} + k_{2} ) + x_{0}(k_{1} + k_{2} ) = - (k_{1} + k_{2} )(x - x_{0} )$
($(x-x_{0})$ - отклонение груза от положения равновесия). Видно, что искомая зависимость такая же, как если бы к грузу была присоединена одна пружина с жесткостью $k = k_{1} + k_{2}$. Поэтому период колебаний груза равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1} + k_{2} } }$.
Две пружинки с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ присоединены каждая одним концом к вертикальной стене, другим - к грузу массы $m$, лежащему на горизонтальном столе. В начальный момент пружина с жесткостью $k_{1}$, растянута на величину $l_{1}$, а пружина с жесткостью $k_{2}$ сжата на величину $l_{2}$. Груз отпускают. Найти амплитуду и период колебаний груза. Трением пренебречь.
Решение:
Примем координату центра груза в начальный момент за нуль (см. рисунок). Тогда зависимость сил упругости, действующих на груз, от координаты $x$ груза будет следующая:
$F_{1}(x) = - (l_{1} + x)k_{1}$,
$F_{2}(x) = (l_{2} - x)k_{2}$.
Здесь $(l_{1} + x), - (l_{2} - x)$ - алгебраические значения удлинений первой и второй пружин соответственно. В момент прохождения грузом положения равновесия суммарная сила $F$, действующая на груз со стороны пружин, равна нулю. Обозначим $x_{0}$ координату груза в этот момент. Тогда
$F(x_{0}) = F_{1}(x_{0} ) + F_{2}(x_{0} ) = - (l_{1} + x_{0} )k_{1} + (l_{2} - x_{0}) k_{2} = 0$.
откуда
$x_{0} = \frac{l_{2}k_{2} - l_{1}k_{1} }{k_{1} + k_{2} }$.
Амплитуда колебаний груза равна, очевидно,
$A = |x_{0} | = \frac{| l_{2}k_{2} - l_{1} k_{1} |}{k_{1} + k_{2} }$.
Чтобы найти период колебаний, запишем, как зависит возвращающая сила $F$ от отклонения груза от положения равновесия:
$F = F_{1} + F_{2} = - x (k_{1} + k_{2} ) + (l_{2}k_{2} - l_{1}k_{1} ) = - x (k_{1} + k_{2} ) + x_{0}(k_{1} + k_{2} ) = - (k_{1} + k_{2} )(x - x_{0} )$
($(x-x_{0})$ - отклонение груза от положения равновесия). Видно, что искомая зависимость такая же, как если бы к грузу была присоединена одна пружина с жесткостью $k = k_{1} + k_{2}$. Поэтому период колебаний груза равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1} + k_{2} } }$.
