Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12242
2019-12-25 
Читая в 1908 году лекции в Страсбурге, академик Л. И. Мандельштам поражал слушателей следующим красивым опытом. Два камертона на резонаторных ящиках, имеющих резонансные частоты 500 Гц и 505 Гц, ставили рядом и один из камертонов возбуждали. Второй камертон при этом практически не откликался на колебания первого. Но стоило экспериментатору начать периодически закрывать и открывать рукой ящик звучащего камертона, как тут же начинал звучать второй камертон. Объясните результат этого опыта.
Решение:
Из ящика звучащего камертона исходят волны частоты $f = 500 Гц$. Периодически закрывая ящик, Л. И. Мандельштам изменял амплитуду колебаний, приходящих ко второму камертону. Что же представляют собой колебания с меняющейся амплитудой - модулированные по амплитуде колебания?
Рассмотрим простейший случай, когда модуляция синусоидальная, то есть амплитуда $A$ меняется по закону синуса (косинуса) с частотой $F$:
$A = A_{0} \cos 2 \pi Ft$.
В этом случае изменение давления (или плотности) воздуха, которое и является звуковой волной, происходит по закону
$\Delta p = (A_{0} \cos 2 \pi Ft) \cos 2 \pi ft$. (*)
Преобразуем правую часть равенства (*), воспользовавшись известными формулами тригонометрии:
$\Delta p = \frac{A_{0} }{2} [ \cos 2 \pi (f - F) t + \cos 2 \pi (f + F)f]$.
Таким образом, колебания частоты $f$, амплитуда которых меняется с частотой $F$, можно представить в виде суммы (суперпозиции) гармонических колебаний (то есть колебаний синусоидальной формы с постоянной амплитудой) двух частот: $f_{1} = f - F$ и $f_{2} = f + F$. Если $F = 5 Гц$, то частота $f_{2}$ совпадает с резонансной частотой камертона-приемника, соответствующая составляющая колебаний раскачивает этот камертон, и он начинает звучать.
При произвольном, несинусоидальном, но периодическом характере модуляции колебаний их представление в виде суммы гармонических составляющих (их спектр) будет содержать больше двух членов (гармоник) - говорят, что спектр колебаний будет богаче. Но если период модуляции равен $1/F$, то в спектре обязательно будет составляющая с частотой $f + F$ (как и с частотой $f-F$). Мы рассматривали синусоидальный закон модуляции только потому, что в этом случае разложение на гармоники выглядит наиболее просто и может быть проведено элементарным образом.
Читая в 1908 году лекции в Страсбурге, академик Л. И. Мандельштам поражал слушателей следующим красивым опытом. Два камертона на резонаторных ящиках, имеющих резонансные частоты 500 Гц и 505 Гц, ставили рядом и один из камертонов возбуждали. Второй камертон при этом практически не откликался на колебания первого. Но стоило экспериментатору начать периодически закрывать и открывать рукой ящик звучащего камертона, как тут же начинал звучать второй камертон. Объясните результат этого опыта.
Решение:
Из ящика звучащего камертона исходят волны частоты $f = 500 Гц$. Периодически закрывая ящик, Л. И. Мандельштам изменял амплитуду колебаний, приходящих ко второму камертону. Что же представляют собой колебания с меняющейся амплитудой - модулированные по амплитуде колебания?
Рассмотрим простейший случай, когда модуляция синусоидальная, то есть амплитуда $A$ меняется по закону синуса (косинуса) с частотой $F$:
$A = A_{0} \cos 2 \pi Ft$.
В этом случае изменение давления (или плотности) воздуха, которое и является звуковой волной, происходит по закону
$\Delta p = (A_{0} \cos 2 \pi Ft) \cos 2 \pi ft$. (*)
Преобразуем правую часть равенства (*), воспользовавшись известными формулами тригонометрии:
$\Delta p = \frac{A_{0} }{2} [ \cos 2 \pi (f - F) t + \cos 2 \pi (f + F)f]$.
Таким образом, колебания частоты $f$, амплитуда которых меняется с частотой $F$, можно представить в виде суммы (суперпозиции) гармонических колебаний (то есть колебаний синусоидальной формы с постоянной амплитудой) двух частот: $f_{1} = f - F$ и $f_{2} = f + F$. Если $F = 5 Гц$, то частота $f_{2}$ совпадает с резонансной частотой камертона-приемника, соответствующая составляющая колебаний раскачивает этот камертон, и он начинает звучать.
При произвольном, несинусоидальном, но периодическом характере модуляции колебаний их представление в виде суммы гармонических составляющих (их спектр) будет содержать больше двух членов (гармоник) - говорят, что спектр колебаний будет богаче. Но если период модуляции равен $1/F$, то в спектре обязательно будет составляющая с частотой $f + F$ (как и с частотой $f-F$). Мы рассматривали синусоидальный закон модуляции только потому, что в этом случае разложение на гармоники выглядит наиболее просто и может быть проведено элементарным образом.
