Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1224
2016-10-20 
Две проводящие полуплоскости образуют прямой двугранный угол. Точечный заряд $q$ находится на расстояниях $a$ и $b$ от граней этого угла (см. рис.). Найдите полную энергию взаимодействия зарядов в этой системе.
Решение:
Воспользуемся для решения задачи методом изображений (см. решение задачи 1223). Суть этого метода фактически сводится к тому, что мы мысленно размещаем в пространстве набор фиктивных точечных зарядов таким образом, чтобы потенциалы всех проводников при этом остались прежними. При этом поле, создаваемое всеми (реальными и фиктивными) зарядами в пространстве, свободном от проводников, будет в точности совпадать с полем, которое создают там реальные заряды вместе с зарядами, наведёнными на поверхностях проводников. Следовательно, для расчёта системы можно будет воспользоваться законом Кулона, что существенно облегчит вычисления. В рассматриваемой задаче потенциал полуплоскостей равен нулю, поскольку проводники уходят на бесконечность. Из соображений симметрии следует, что в данной системе наведённые заряды можно заменить тремя фиктивными зарядами (одним положительным $+q$ и двумя отрицательными $-q$), размещёнными за проводником так, как показано на рисунке. Действительно, при таком расположении зарядов все точки поверхности проводника находятся на одинаковых расстояниях от соответствующих пар разноимённых зарядов, что и обеспечивает равенство нулю потенциала проводящей поверхности.
Поскольку электрическое поле в реальной системе существует только в правом верхнем квадранте (см. рисунок), то полная энергия взаимодействия зарядов в этой системе $W$ может быть найдена, как 1/4 от суммы энергий взаимодействия, взятой по всем парам зарядов:
$W = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( 2 \cdot \left ( - \frac{q^{2}}{2a} \right ) + 2 \cdot \left ( - \frac{q^{2}}{2b} \right ) + 2 \cdot \frac{q^{2}}{2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right ) = - \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{ \sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right )$.
Две проводящие полуплоскости образуют прямой двугранный угол. Точечный заряд $q$ находится на расстояниях $a$ и $b$ от граней этого угла (см. рис.). Найдите полную энергию взаимодействия зарядов в этой системе.
Решение:
Воспользуемся для решения задачи методом изображений (см. решение задачи 1223). Суть этого метода фактически сводится к тому, что мы мысленно размещаем в пространстве набор фиктивных точечных зарядов таким образом, чтобы потенциалы всех проводников при этом остались прежними. При этом поле, создаваемое всеми (реальными и фиктивными) зарядами в пространстве, свободном от проводников, будет в точности совпадать с полем, которое создают там реальные заряды вместе с зарядами, наведёнными на поверхностях проводников. Следовательно, для расчёта системы можно будет воспользоваться законом Кулона, что существенно облегчит вычисления. В рассматриваемой задаче потенциал полуплоскостей равен нулю, поскольку проводники уходят на бесконечность. Из соображений симметрии следует, что в данной системе наведённые заряды можно заменить тремя фиктивными зарядами (одним положительным $+q$ и двумя отрицательными $-q$), размещёнными за проводником так, как показано на рисунке. Действительно, при таком расположении зарядов все точки поверхности проводника находятся на одинаковых расстояниях от соответствующих пар разноимённых зарядов, что и обеспечивает равенство нулю потенциала проводящей поверхности.
Поскольку электрическое поле в реальной системе существует только в правом верхнем квадранте (см. рисунок), то полная энергия взаимодействия зарядов в этой системе $W$ может быть найдена, как 1/4 от суммы энергий взаимодействия, взятой по всем парам зарядов:
$W = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( 2 \cdot \left ( - \frac{q^{2}}{2a} \right ) + 2 \cdot \left ( - \frac{q^{2}}{2b} \right ) + 2 \cdot \frac{q^{2}}{2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right ) = - \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{ \sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right )$.
