Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12239
2019-12-25 
Два одинаковых автомобиля массой $m = 10^{3} кг$ движутся вверх по одной и той же горной дороге. Зависимость высоты $h$ дороги от расстояния $x$ до начала подъема показана на рисунке. Каждый автомобиль развивает постоянную мощность $P = 12 кВт$, а сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна квадрату его скорости: $| \vec{F} | = \alpha | \vec{v} |^{2}$, где $\alpha = 1,1 кг/м$. На последнем горизонтальном участке дороги расстояние между автомобилями равно 100 м. Каким было минимальное расстояние между автомобилями при их движении?
Решение:
Так как автомобили проходят подъем в одном и том же режиме, расстояние между ними на горизонтальном участке I (до подъёма; см. рисунок) такое же, как на участке IV (после подъема), а именно $l = 100 м$. При въезде первого автомобиля на участок II его скорость падает, и расстояние между автомобилями уменьшается. Когда первый автомобиль въезжает на участок III, его скорость возрастает, и расстояние увеличивается; то же самое происходит при въезде на участок IV. Следовательно, минимальное расстояние между автомобилями будет на участке II.
За время $\tau$, в течение которою первый автомобиль движется по участку II, а второй - ещё по участку I, второй автомобиль проходит расстояние I, а первый - некоторое расстояние $l^{ \prime} < l$. Очевидно, расстояние $l^{ \prime}$ между автомобилями на участке II и есть искомое минимальное расстояние между автомобилями.
Найдем скорости автомобилей на участках I и II. На участке I работа совершается только против сил сопротивления. На этом участке баланс энергии можно записать следующим образом:
$P = | \vec{F}_{1} || \vec{v}_{1} | = \alpha | \vec{v}_{1} |^{3}$. (1)
На участке II добавляется работа против силы тяжести:
$P = | \vec{F}_{2} || \vec{v}_{2} | + m| \vec{g} | \frac{h_{2} }{ \frac{S_{2} }{ | \vec{v}_{2} | } } = \alpha | \vec{v}_{2} |^{3} + m| \vec{g} || \vec{v}_{2} | \frac{h_{2} }{S_{2} }$. (2)
Наклон $h_{2}/S_{2}$ определяем из графика: $h_{2}/S_{2} = \frac{4}{30}$.
Из уравнения (1) находим: $| \vec{v}_{1} | \approx 20,5 м/с$. Следовательно, $\tau = \frac{l}{ | \vec{v}_{1} | } \approx 4,9 с$. Из уравнения (2) находим: $| \vec{v}_{2} | = 8,5 м/с$. За время $\tau$ первый автомобиль пройдет расстояние $l^{ \prime} = | \vec{v}_{2} | \tau = 41,6 м$. Это и есть минимальное расстояние между автомобилями.
Рекомендуем самостоятельно проанализировать движение автомобилей при переходе с горизонтального участка I на участок II и убедиться, что учет плавного характера изменения скорости от значения $| \vec{v}_{1} |$ до значения $| \vec{v}_{2} |$ не меняет ответа задачи.
Два одинаковых автомобиля массой $m = 10^{3} кг$ движутся вверх по одной и той же горной дороге. Зависимость высоты $h$ дороги от расстояния $x$ до начала подъема показана на рисунке. Каждый автомобиль развивает постоянную мощность $P = 12 кВт$, а сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна квадрату его скорости: $| \vec{F} | = \alpha | \vec{v} |^{2}$, где $\alpha = 1,1 кг/м$. На последнем горизонтальном участке дороги расстояние между автомобилями равно 100 м. Каким было минимальное расстояние между автомобилями при их движении?
Решение:
Так как автомобили проходят подъем в одном и том же режиме, расстояние между ними на горизонтальном участке I (до подъёма; см. рисунок) такое же, как на участке IV (после подъема), а именно $l = 100 м$. При въезде первого автомобиля на участок II его скорость падает, и расстояние между автомобилями уменьшается. Когда первый автомобиль въезжает на участок III, его скорость возрастает, и расстояние увеличивается; то же самое происходит при въезде на участок IV. Следовательно, минимальное расстояние между автомобилями будет на участке II.
За время $\tau$, в течение которою первый автомобиль движется по участку II, а второй - ещё по участку I, второй автомобиль проходит расстояние I, а первый - некоторое расстояние $l^{ \prime} < l$. Очевидно, расстояние $l^{ \prime}$ между автомобилями на участке II и есть искомое минимальное расстояние между автомобилями.
Найдем скорости автомобилей на участках I и II. На участке I работа совершается только против сил сопротивления. На этом участке баланс энергии можно записать следующим образом:
$P = | \vec{F}_{1} || \vec{v}_{1} | = \alpha | \vec{v}_{1} |^{3}$. (1)
На участке II добавляется работа против силы тяжести:
$P = | \vec{F}_{2} || \vec{v}_{2} | + m| \vec{g} | \frac{h_{2} }{ \frac{S_{2} }{ | \vec{v}_{2} | } } = \alpha | \vec{v}_{2} |^{3} + m| \vec{g} || \vec{v}_{2} | \frac{h_{2} }{S_{2} }$. (2)
Наклон $h_{2}/S_{2}$ определяем из графика: $h_{2}/S_{2} = \frac{4}{30}$.
Из уравнения (1) находим: $| \vec{v}_{1} | \approx 20,5 м/с$. Следовательно, $\tau = \frac{l}{ | \vec{v}_{1} | } \approx 4,9 с$. Из уравнения (2) находим: $| \vec{v}_{2} | = 8,5 м/с$. За время $\tau$ первый автомобиль пройдет расстояние $l^{ \prime} = | \vec{v}_{2} | \tau = 41,6 м$. Это и есть минимальное расстояние между автомобилями.
Рекомендуем самостоятельно проанализировать движение автомобилей при переходе с горизонтального участка I на участок II и убедиться, что учет плавного характера изменения скорости от значения $| \vec{v}_{1} |$ до значения $| \vec{v}_{2} |$ не меняет ответа задачи.
