Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12238
2019-12-25 
Три одинаковых резистора, конденсатор емкостью $C$ и катушка индуктивностью $L$ соединены в цепь, как показано на рисунке. Частота $\omega$ переменного тока в цепи такова, что $\omega L = \frac{1}{ \omega C}$. При каком сопротивлении $R$ резисторов ток в неразветвленной части цепи в $n$ раз меньше тока в каждой из ветвей?
Решение:
На рисунке обозначены мгновенные значения токов в неразветвленной части цепи ($i$) и в ветвях ($i_{C},i_{L}$), а также мгновенное значение напряжения и на разветвлении (между точками А и В).
Для решения задачи построим векторные диаграммы для действующих значений напряжений и токов. Колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями тока через него: колебания напряжения на конденсаторе отстают, но фазе на $\pi/2$ от колебания тока через него: колебания напряжения на катушке опережают по фазе на $\pi/2$ колебания тока через нее. Векторная диаграмма для емкостной ветви - на рисунке а, для индуктивной - на рисунке б, а для разветвления - на рисунке в, на котором вектор $\vec{U}$ есть вектор действующего напряжения на разветвлении.
По условию задачи $\omega L = \frac{1}{ \omega C}$, то есть $X_{L} = X_{C}$. Значит, токи в ветвях одинаковы по величине - $I_{C} = I_{L}$, ток $I_{C}$ в емкостной ветви опережает на угол $\phi$ напряжение на ней, а ток $I_{L}$ в индуктивной ветви отстает от того же напряжении на такой же угол.
Из рисунка в находим:
$tg \phi = \frac{U_{C} }{U_{R} } = \frac{I_{C}X_{C} }{I_{C}R} = \frac{X_{C} }{R} = \frac{X_{L} }{R}$. (1)
На векторной диаграмме для токов (рис. г) вектор $\vec{I}$ есть вектор действующего значения тока в неразветвленной части цепи. По условию задачи $I:I_{C} = \frac{1}{n}$. Из рисунка г находим:
$\cos \phi = \frac{1}{2} I:I_{C} = \frac{1}{2n}$. (2)
Из (1) и (2) получаем:
$R = \frac{X_{C} }{ \sqrt{4n^{2} - 1 } } = \frac{1}{ \omega C \sqrt{4n^{2} - 1 } } = \frac{ \omega L}{ \sqrt{4n^{2} - 1 } }$.
Резистор в неразветвленной части цепи влияет только на величину напряжении на зажимах всей цепи. Если в качестве резисторов взять три одинаковые лампы накаливания, то лампа в неразветвленной части цепи может быть темной при полном накале ламп в ветвях (при достаточно большом $n$).
Три одинаковых резистора, конденсатор емкостью $C$ и катушка индуктивностью $L$ соединены в цепь, как показано на рисунке. Частота $\omega$ переменного тока в цепи такова, что $\omega L = \frac{1}{ \omega C}$. При каком сопротивлении $R$ резисторов ток в неразветвленной части цепи в $n$ раз меньше тока в каждой из ветвей?
Решение:
На рисунке обозначены мгновенные значения токов в неразветвленной части цепи ($i$) и в ветвях ($i_{C},i_{L}$), а также мгновенное значение напряжения и на разветвлении (между точками А и В).
Для решения задачи построим векторные диаграммы для действующих значений напряжений и токов. Колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями тока через него: колебания напряжения на конденсаторе отстают, но фазе на $\pi/2$ от колебания тока через него: колебания напряжения на катушке опережают по фазе на $\pi/2$ колебания тока через нее. Векторная диаграмма для емкостной ветви - на рисунке а, для индуктивной - на рисунке б, а для разветвления - на рисунке в, на котором вектор $\vec{U}$ есть вектор действующего напряжения на разветвлении.
По условию задачи $\omega L = \frac{1}{ \omega C}$, то есть $X_{L} = X_{C}$. Значит, токи в ветвях одинаковы по величине - $I_{C} = I_{L}$, ток $I_{C}$ в емкостной ветви опережает на угол $\phi$ напряжение на ней, а ток $I_{L}$ в индуктивной ветви отстает от того же напряжении на такой же угол.
Из рисунка в находим:
$tg \phi = \frac{U_{C} }{U_{R} } = \frac{I_{C}X_{C} }{I_{C}R} = \frac{X_{C} }{R} = \frac{X_{L} }{R}$. (1)
На векторной диаграмме для токов (рис. г) вектор $\vec{I}$ есть вектор действующего значения тока в неразветвленной части цепи. По условию задачи $I:I_{C} = \frac{1}{n}$. Из рисунка г находим:
$\cos \phi = \frac{1}{2} I:I_{C} = \frac{1}{2n}$. (2)
Из (1) и (2) получаем:
$R = \frac{X_{C} }{ \sqrt{4n^{2} - 1 } } = \frac{1}{ \omega C \sqrt{4n^{2} - 1 } } = \frac{ \omega L}{ \sqrt{4n^{2} - 1 } }$.
Резистор в неразветвленной части цепи влияет только на величину напряжении на зажимах всей цепи. Если в качестве резисторов взять три одинаковые лампы накаливания, то лампа в неразветвленной части цепи может быть темной при полном накале ламп в ветвях (при достаточно большом $n$).
