Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12234
2019-12-25 
В вертикальной трубке длиной $H = 152 см$, запаянной с нижнего конца, имеется столбик воздуха высотой $h = 76 см$, запертый столбиком ртути (рис.). Атмосферное давление равно $10^{5} Па$, а температура $t_{0} = 17^{ \circ} С$. До какой температуры $t_{1}$ следует нагреть воздух в трубке, чтобы вся ртуть вылилась?
Решение:
Начальное давление воздуха в трубке складывается из гидростатического давления столбика ртути высотой $H - h = 76 см$ и давления атмосферы. Атмосферное давление по условию равно $10^{5} Па \approx 76$ см рт. ст. Таким образом, начальное давление воздуха в трубке приблизительно равно удвоенному атмосферному давлению.
Будем считать, что вытекание ртути происходит медленно, так что систему в каждый момент можно считать находящейся в состоянии равновесия. В конечном состоянии, когда почти вся ртуть выльется, давление воздуха в трубке будет равно атмосферному, то есть вдвое меньше начального. Объем же воздуха $HS$ ($S$ - площадь поперечного сечения трубки) будет вдвое больше начального объема $hS$. Согласно уравнению состояния идеального газа это означает, что температура в конечном состоянии должна быть такой же, как и в начальном!
Разумеется, вообще без повышения температуры ртуть выливаться из трубки не будет. Поэтому полученный результат означает, что для ответа на вопрос задачи нельзя ограничиться рассмотрением только начального н конечного состояний, а нужно проследить за всем процессом.
Выясним, как должна изменяться температура воздуха в трубке для того, чтобы ртуть выливалась постепенно, и в каждый момент времени систему можно было считать находящейся в состоянии равновесия.
Обозначим высоту столбика воздуха в некоторый момент времени через $z$. Тогда давление воздуха в трубке $p(z)$ равно
$p(z) = p_{0} + \rho g(H-z)$, (1)
где $\rho$ - плотность ртути, а $p_{0}$ - атмосферное давление, которое по условию задачи приблизительно равно давлению столбика ртути высоты $H/2$:
$p_{0} = \frac{ \rho gH}{2}$. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
$p(z) = \rho g \left ( \frac{3}{2}H - z \right )$. (3)
Поскольку мы предполагаем, что воздух в трубке находится в состоянии термодинамического равновесия при любом $z$, то давление $p(z)$ воздуха, занимаемый им объем $Sz$ и температура $T(z)$ связаны уравнением состояния идеального газа:
$\frac{p(z)Sz}{T(z)} = \frac{ \frac{2p_{0}SH }{2} }{T_{0} }$, (4)
где $T_{0}$ - начальная температура, $2p_{0}$ - начальное давление воздуха в трубке, $SH/2$ - начальный объем воздуха. Подставляя в (4) $p(z)$ из (3) и $p_{0}$ из (2), находим зависимость температуры от высоты столбика воздуха в трубке:
$T(z) = T_{0} \frac{(2H - 2z)z}{H^{2} }$. (5)
График функции $T(z)$ показан на рисунке. Процессу выливания ртути соответствует участок между точками $z = H/2$ и $z = H$, изображенный сплошной линией. Видно, что для медленного (квазиравновесного) процесса температура должна сначала повышаться до значения $T_{1} = \frac{9}{8} T_{0}$ (при этом выльется половина первоначального количества ртути), а затем понижаться до начального значения $T_{0}$. Поэтому для полного выливания ртути воздух в трубке нужно нагреть до температуры $T_{1} \approx 326 К$. Достигнув этой температуры, нужно сохранить контакт с нагревателем, имеющим температуру $T_{1}$. Дальше ртуть будет выливаться сама, причем этот процесс уже не будет квазиравновесным.
Чтобы лучше уяснить это, полезно рассмотреть процесс на $p - V$ - диаграмме (рис.). Равновесному процессу вытекания ртути соответствует линейная зависимость давления воздуха в трубке от $z$, описываемая формулой (3) и показанная сплошной прямой между значениями $z = \frac{H}{2}$ и $z = H$. На этом же рисунке изображены изотермы, соответствующие температурам $T_{0}$ и $T_{1}$. Начальное и конечное состояние лежат на одной изотерме. Видно, что при температуре выше $T_{1}$, ни одна изотерма не пересекает прямой $p(z)$, то есть равновесие воздуха в трубке не возможно ни при каком значении высоты столбика $z$. Поэтому, если температура воздуха будет поддерживаться хотя бы чуть выше значения $T_{1}$, вся ртуть неизбежно будет вытолкнута воздухом из трубки.
В вертикальной трубке длиной $H = 152 см$, запаянной с нижнего конца, имеется столбик воздуха высотой $h = 76 см$, запертый столбиком ртути (рис.). Атмосферное давление равно $10^{5} Па$, а температура $t_{0} = 17^{ \circ} С$. До какой температуры $t_{1}$ следует нагреть воздух в трубке, чтобы вся ртуть вылилась?
Решение:
Начальное давление воздуха в трубке складывается из гидростатического давления столбика ртути высотой $H - h = 76 см$ и давления атмосферы. Атмосферное давление по условию равно $10^{5} Па \approx 76$ см рт. ст. Таким образом, начальное давление воздуха в трубке приблизительно равно удвоенному атмосферному давлению.
Будем считать, что вытекание ртути происходит медленно, так что систему в каждый момент можно считать находящейся в состоянии равновесия. В конечном состоянии, когда почти вся ртуть выльется, давление воздуха в трубке будет равно атмосферному, то есть вдвое меньше начального. Объем же воздуха $HS$ ($S$ - площадь поперечного сечения трубки) будет вдвое больше начального объема $hS$. Согласно уравнению состояния идеального газа это означает, что температура в конечном состоянии должна быть такой же, как и в начальном!
Разумеется, вообще без повышения температуры ртуть выливаться из трубки не будет. Поэтому полученный результат означает, что для ответа на вопрос задачи нельзя ограничиться рассмотрением только начального н конечного состояний, а нужно проследить за всем процессом.
Выясним, как должна изменяться температура воздуха в трубке для того, чтобы ртуть выливалась постепенно, и в каждый момент времени систему можно было считать находящейся в состоянии равновесия.
Обозначим высоту столбика воздуха в некоторый момент времени через $z$. Тогда давление воздуха в трубке $p(z)$ равно
$p(z) = p_{0} + \rho g(H-z)$, (1)
где $\rho$ - плотность ртути, а $p_{0}$ - атмосферное давление, которое по условию задачи приблизительно равно давлению столбика ртути высоты $H/2$:
$p_{0} = \frac{ \rho gH}{2}$. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
$p(z) = \rho g \left ( \frac{3}{2}H - z \right )$. (3)
Поскольку мы предполагаем, что воздух в трубке находится в состоянии термодинамического равновесия при любом $z$, то давление $p(z)$ воздуха, занимаемый им объем $Sz$ и температура $T(z)$ связаны уравнением состояния идеального газа:
$\frac{p(z)Sz}{T(z)} = \frac{ \frac{2p_{0}SH }{2} }{T_{0} }$, (4)
где $T_{0}$ - начальная температура, $2p_{0}$ - начальное давление воздуха в трубке, $SH/2$ - начальный объем воздуха. Подставляя в (4) $p(z)$ из (3) и $p_{0}$ из (2), находим зависимость температуры от высоты столбика воздуха в трубке:
$T(z) = T_{0} \frac{(2H - 2z)z}{H^{2} }$. (5)
График функции $T(z)$ показан на рисунке. Процессу выливания ртути соответствует участок между точками $z = H/2$ и $z = H$, изображенный сплошной линией. Видно, что для медленного (квазиравновесного) процесса температура должна сначала повышаться до значения $T_{1} = \frac{9}{8} T_{0}$ (при этом выльется половина первоначального количества ртути), а затем понижаться до начального значения $T_{0}$. Поэтому для полного выливания ртути воздух в трубке нужно нагреть до температуры $T_{1} \approx 326 К$. Достигнув этой температуры, нужно сохранить контакт с нагревателем, имеющим температуру $T_{1}$. Дальше ртуть будет выливаться сама, причем этот процесс уже не будет квазиравновесным.
Чтобы лучше уяснить это, полезно рассмотреть процесс на $p - V$ - диаграмме (рис.). Равновесному процессу вытекания ртути соответствует линейная зависимость давления воздуха в трубке от $z$, описываемая формулой (3) и показанная сплошной прямой между значениями $z = \frac{H}{2}$ и $z = H$. На этом же рисунке изображены изотермы, соответствующие температурам $T_{0}$ и $T_{1}$. Начальное и конечное состояние лежат на одной изотерме. Видно, что при температуре выше $T_{1}$, ни одна изотерма не пересекает прямой $p(z)$, то есть равновесие воздуха в трубке не возможно ни при каком значении высоты столбика $z$. Поэтому, если температура воздуха будет поддерживаться хотя бы чуть выше значения $T_{1}$, вся ртуть неизбежно будет вытолкнута воздухом из трубки.
