Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12228
2019-12-25 
Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей $m$ ножки стола сломаются. Найти множество точек стола, куда можно поставить предмет массой $m/2$, не боясь поломки стола.
Решение:
Чтобы ножки стола не ломались, сила, действующая на каждую ножку, не должна быть больше $m/4$ (это следует из условия задачи). Посмотрим, какая сила $f_{1}$ действует на ножку I (рис.), когда на столе стоит груз массы $m/2$ в точке с координатами $x, y$ (за начало отсчета принята точка I).
Пусть $f_{2}, f_{3}, f_{4}$ - силы, действующие на ножки II, III, IV соответственно. Очевидно, что действие сил $f_{1}$ и $f_{2}$ эквивалентно действию силы $f_{1-2} = f_{1} + f_{2}$, приложенной в точке А с координатами $\{ O; y \}$, а действие сил $f_{3}$ и $f_{4}$ эквивалентно действию силы $f_{3-4} = f_{3} + f_{4}$, приложенной в точке В с координатами $\{ l; y \}$ (длина стороны стола равна $l$). Запишем условия равновесия стола:
$f_{1-2} + f_{3-4} = \frac{mg}{2}$,
$f_{1-2}x = f_{3-4}(l - x)$.
Отсюда
$f_{1} + f_{2} = f_{1-2} = \frac{mg}{2} \frac{l - x}{l}$. (1)
С другой стороны, $f_{1}y = f_{2}(l - y)$, откуда
$f_{1} = f_{2} \frac{l - y}{y}$. (2)
Из (1) и (2) находим
$f_{1} = \frac{mg}{2} \frac{(l - x)(l - y)}{l^{2} }$.
Чтобы ножка не сломалась, должно выполняться условие
$f_{1} = \frac{mg}{2}\frac{(l-x)(l-y)}{l^{2} } < \frac{mg}{4}$.
то есть груз массы $m/2$ может стоять в точке, координаты которой связаны соотношением
$y > l \left ( 1 - \frac{l}{2(l - x)} \right )$.
График функции $y(x) = l \left (1 - \frac{l}{2(l - x)} \right )$ изображен толстой красной линией на рисунке. Из соображений симметрии ясно, что область "разрешенных" точек - заштрихованный криволинейный четырехугольник на рисунке.
Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей $m$ ножки стола сломаются. Найти множество точек стола, куда можно поставить предмет массой $m/2$, не боясь поломки стола.
Решение:
Чтобы ножки стола не ломались, сила, действующая на каждую ножку, не должна быть больше $m/4$ (это следует из условия задачи). Посмотрим, какая сила $f_{1}$ действует на ножку I (рис.), когда на столе стоит груз массы $m/2$ в точке с координатами $x, y$ (за начало отсчета принята точка I).
Пусть $f_{2}, f_{3}, f_{4}$ - силы, действующие на ножки II, III, IV соответственно. Очевидно, что действие сил $f_{1}$ и $f_{2}$ эквивалентно действию силы $f_{1-2} = f_{1} + f_{2}$, приложенной в точке А с координатами $\{ O; y \}$, а действие сил $f_{3}$ и $f_{4}$ эквивалентно действию силы $f_{3-4} = f_{3} + f_{4}$, приложенной в точке В с координатами $\{ l; y \}$ (длина стороны стола равна $l$). Запишем условия равновесия стола:
$f_{1-2} + f_{3-4} = \frac{mg}{2}$,
$f_{1-2}x = f_{3-4}(l - x)$.
Отсюда
$f_{1} + f_{2} = f_{1-2} = \frac{mg}{2} \frac{l - x}{l}$. (1)
С другой стороны, $f_{1}y = f_{2}(l - y)$, откуда
$f_{1} = f_{2} \frac{l - y}{y}$. (2)
Из (1) и (2) находим
$f_{1} = \frac{mg}{2} \frac{(l - x)(l - y)}{l^{2} }$.
Чтобы ножка не сломалась, должно выполняться условие
$f_{1} = \frac{mg}{2}\frac{(l-x)(l-y)}{l^{2} } < \frac{mg}{4}$.
то есть груз массы $m/2$ может стоять в точке, координаты которой связаны соотношением
$y > l \left ( 1 - \frac{l}{2(l - x)} \right )$.
График функции $y(x) = l \left (1 - \frac{l}{2(l - x)} \right )$ изображен толстой красной линией на рисунке. Из соображений симметрии ясно, что область "разрешенных" точек - заштрихованный криволинейный четырехугольник на рисунке.
