Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12222
2019-12-25 
Самолет летит по замкнутому маршруту АВС. Пункты А, В и С лежат в вершинах правильного треугольника. В каком случае время, затраченное на перелет, будет меньше: если ветер дует в направлении вектора $\vec{AB}$ или если ветер дует в направлении вектора $\vec{BA}$?
Решение:
Обозначим $l$ длину стороны треугольника АВС. Если скорость вектора равна $u$ и он дует в направлении $\vec{AB}$, то вдоль вектора $\vec{AB}$ самолет летит со скоростью $u + v$ (где $v$ - модуль скорости самолета) и затрачивает на перелет $A \rightarrow B$ время
$t_{1} = \frac{l}{u + v} = \frac{l}{v(1 + d)}$, где $d = \frac{u}{v}$.
Вдоль вектора $\vec{BC}$ самолет летит со скоростью $\vec{v}_{1} = \vec{v} + \vec{u}$ (рис.). Так как вектор $\vec{v}_{1}$ направлен вдоль вектора $\vec{BC}$, модуль вектора $\vec{v}_{1}$ равен сумме проекций векторов $\vec{v}$ и $\vec{u}$ на $\vec{BC}$, а сумма проекций этих векторов на ось, перпендикулярную $\vec{BC}$, равна нулю:
$v_{1} = v \cos \beta - u \sin \alpha$,
$v \sin \beta - u \cos \alpha = 0$.
Отсюда, учитывая, что $\alpha = 30^{ \circ}$, получим
$v_{1} = v \sqrt{ 1 - \frac{u^{2} }{v^{2} } \cos^{2} \alpha} - u \sin \alpha = \frac{1}{2} v \sqrt{4 - 3d^{2} } - \frac{1}{2}d$.
Такой же по модулю будет скорость на участке СА. Поэтому на перелет $B \rightarrow C \rightarrow A$ самолет затратит время
$t_{2} = \frac{2l}{v_{1} } = \frac{4l}{v \sqrt{4 - 3d^{2} } - dv }$.
Полное время $t$ перелета $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ равно $t_{1} + t_{2}$.
Если ветер дует вдоль вектора $\vec{BA}$, то перелет $A \rightarrow B$ совершается за время
$t_{1}^{ \prime} = \frac{l}{v - u} = \frac{l}{v(1 - d)}$.
Скорость на участках ВС и СА в этом случае (рис.) будет равна по модулю
$v_{1}^{ \prime} = \sqrt{v^{2} - \frac{3}{4} u^{2} } + \frac{1}{2}u = v \sqrt{ 1 - \frac{3}{4}d^{2} } + \frac{1}{2} dv$,
и на перелет $B \rightarrow C \rightarrow A$ потребуется время
$t_{2}^{ \prime} = \frac{2l}{v_{1}^{ \prime} } = \frac{4l}{v \sqrt{4 - 3d^{2} } + dv }$.
Полное время $t^{ \prime}$ перелета $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ равно в этом случае $t_{1}^{ \prime} + t_{2}^{ \prime}$. Отношение времен $t^{ \prime}$ и $r$ равно
$\frac{t^{ \prime} }{t} = \frac{ \frac{1}{1 - d} + \frac{4}{ \sqrt{4 - 3d^{2} } + d } }{ \frac{1}{1 - d} + \frac{4}{ \sqrt{4 - 3d^{2} } - d } }$.
Проведя алгебраические преобразования, получим
$\frac{t^{ \prime} }{t} = 1$.
Самолет летит по замкнутому маршруту АВС. Пункты А, В и С лежат в вершинах правильного треугольника. В каком случае время, затраченное на перелет, будет меньше: если ветер дует в направлении вектора $\vec{AB}$ или если ветер дует в направлении вектора $\vec{BA}$?
Решение:
Обозначим $l$ длину стороны треугольника АВС. Если скорость вектора равна $u$ и он дует в направлении $\vec{AB}$, то вдоль вектора $\vec{AB}$ самолет летит со скоростью $u + v$ (где $v$ - модуль скорости самолета) и затрачивает на перелет $A \rightarrow B$ время
$t_{1} = \frac{l}{u + v} = \frac{l}{v(1 + d)}$, где $d = \frac{u}{v}$.
Вдоль вектора $\vec{BC}$ самолет летит со скоростью $\vec{v}_{1} = \vec{v} + \vec{u}$ (рис.). Так как вектор $\vec{v}_{1}$ направлен вдоль вектора $\vec{BC}$, модуль вектора $\vec{v}_{1}$ равен сумме проекций векторов $\vec{v}$ и $\vec{u}$ на $\vec{BC}$, а сумма проекций этих векторов на ось, перпендикулярную $\vec{BC}$, равна нулю:
$v_{1} = v \cos \beta - u \sin \alpha$,
$v \sin \beta - u \cos \alpha = 0$.
Отсюда, учитывая, что $\alpha = 30^{ \circ}$, получим
$v_{1} = v \sqrt{ 1 - \frac{u^{2} }{v^{2} } \cos^{2} \alpha} - u \sin \alpha = \frac{1}{2} v \sqrt{4 - 3d^{2} } - \frac{1}{2}d$.
Такой же по модулю будет скорость на участке СА. Поэтому на перелет $B \rightarrow C \rightarrow A$ самолет затратит время
$t_{2} = \frac{2l}{v_{1} } = \frac{4l}{v \sqrt{4 - 3d^{2} } - dv }$.
Полное время $t$ перелета $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ равно $t_{1} + t_{2}$.
Если ветер дует вдоль вектора $\vec{BA}$, то перелет $A \rightarrow B$ совершается за время
$t_{1}^{ \prime} = \frac{l}{v - u} = \frac{l}{v(1 - d)}$.
Скорость на участках ВС и СА в этом случае (рис.) будет равна по модулю
$v_{1}^{ \prime} = \sqrt{v^{2} - \frac{3}{4} u^{2} } + \frac{1}{2}u = v \sqrt{ 1 - \frac{3}{4}d^{2} } + \frac{1}{2} dv$,
и на перелет $B \rightarrow C \rightarrow A$ потребуется время
$t_{2}^{ \prime} = \frac{2l}{v_{1}^{ \prime} } = \frac{4l}{v \sqrt{4 - 3d^{2} } + dv }$.
Полное время $t^{ \prime}$ перелета $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ равно в этом случае $t_{1}^{ \prime} + t_{2}^{ \prime}$. Отношение времен $t^{ \prime}$ и $r$ равно
$\frac{t^{ \prime} }{t} = \frac{ \frac{1}{1 - d} + \frac{4}{ \sqrt{4 - 3d^{2} } + d } }{ \frac{1}{1 - d} + \frac{4}{ \sqrt{4 - 3d^{2} } - d } }$.
Проведя алгебраические преобразования, получим
$\frac{t^{ \prime} }{t} = 1$.
