Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12221
2019-12-25 
Шайба соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости с углом $\alpha$. Коэффициент трения между шайбой и поверхностью наклонной плоскости изменяется с расстоянием $l$ от вершины по закону $\mu = kl$ ($k = const$). На каком расстоянии от вершины надо поставить упор, чтобы после одного упругого соударения с упором шайба остановилась как можно выше?
Решение:
Пусть в точке А, находящейся на расстоянии $l_{0}$ от вершины наклонной плоскости, сила трения, действующая на шайбу, равна (см. рис.) $| \vec{F}_{тр}| = m| \vec{g}| \sin \alpha$, где $m$ - масса шайбы. Поскольку в точке А коэффициент трения $\mu_{A} = kl_{0}$, в этой точке $| \vec{F}_{тр} | = \mu_{A} | \vec{N} | = kl_{0}m | \vec{g} | \cos \alpha$, то есть
$m | \vec{g} | \sin \alpha = kl_{0} m | \vec{g} | \cos \alpha$,
откуда
$l_{0} = \frac{tg \alpha }{k}$.
Нетрудно показать, что максимально возможная высота подъема шайбы после одного удара об упор - это высота $h_{0}$, соответствующая точке А. Чтобы после удара шайба остановилась в точке А, надо, чтобы при подъеме после удара шайба имела в точке А скорость, равную нулю.
Найдем, на каком расстоянии $l$ от вершины наклонной плоскости надо установить упор, чтобы шайба после удара остановилась в точке A. Запишем закон сохранения энергии (см рис.):
$mgH = mgh_{0} + F_{ср.1}l +F_{ср.2} (l - l_{0})$. (*)
Здесь $F_{ср.1}l$ - энергия, "потерянная" на преодоление трения на пути от вершины наклонной плоскости до упора; на этом участке среднее значение силы трения $F_{ср.1} = \frac{klmg \cos \alpha}{2}$. $F_{ср.2} (l - l_{0})$ - энергия, затраченная на преодоление трения на пути от упора до точки A; на этом участке $F_{ср.2} = \frac{k(l + l_{0}) mg \cos \alpha}{2}$. С учетом этого из (*) получаем
$(H - h_{0}) = \frac{k}{2} l^{2} \cos \alpha + \frac{k}{2}(l^{2} - l_{0}^{2} ) \cos \alpha$.
Отсюда, учитывая, что $H - h_{0} = l_{0} \sin \alpha$, находим
$l = \sqrt{ \frac{3}{2} } \frac{tg \alpha}{k}$
Шайба соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости с углом $\alpha$. Коэффициент трения между шайбой и поверхностью наклонной плоскости изменяется с расстоянием $l$ от вершины по закону $\mu = kl$ ($k = const$). На каком расстоянии от вершины надо поставить упор, чтобы после одного упругого соударения с упором шайба остановилась как можно выше?
Решение:
Пусть в точке А, находящейся на расстоянии $l_{0}$ от вершины наклонной плоскости, сила трения, действующая на шайбу, равна (см. рис.) $| \vec{F}_{тр}| = m| \vec{g}| \sin \alpha$, где $m$ - масса шайбы. Поскольку в точке А коэффициент трения $\mu_{A} = kl_{0}$, в этой точке $| \vec{F}_{тр} | = \mu_{A} | \vec{N} | = kl_{0}m | \vec{g} | \cos \alpha$, то есть
$m | \vec{g} | \sin \alpha = kl_{0} m | \vec{g} | \cos \alpha$,
откуда
$l_{0} = \frac{tg \alpha }{k}$.
Нетрудно показать, что максимально возможная высота подъема шайбы после одного удара об упор - это высота $h_{0}$, соответствующая точке А. Чтобы после удара шайба остановилась в точке А, надо, чтобы при подъеме после удара шайба имела в точке А скорость, равную нулю.
Найдем, на каком расстоянии $l$ от вершины наклонной плоскости надо установить упор, чтобы шайба после удара остановилась в точке A. Запишем закон сохранения энергии (см рис.):
$mgH = mgh_{0} + F_{ср.1}l +F_{ср.2} (l - l_{0})$. (*)
Здесь $F_{ср.1}l$ - энергия, "потерянная" на преодоление трения на пути от вершины наклонной плоскости до упора; на этом участке среднее значение силы трения $F_{ср.1} = \frac{klmg \cos \alpha}{2}$. $F_{ср.2} (l - l_{0})$ - энергия, затраченная на преодоление трения на пути от упора до точки A; на этом участке $F_{ср.2} = \frac{k(l + l_{0}) mg \cos \alpha}{2}$. С учетом этого из (*) получаем
$(H - h_{0}) = \frac{k}{2} l^{2} \cos \alpha + \frac{k}{2}(l^{2} - l_{0}^{2} ) \cos \alpha$.
Отсюда, учитывая, что $H - h_{0} = l_{0} \sin \alpha$, находим
$l = \sqrt{ \frac{3}{2} } \frac{tg \alpha}{k}$
