Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12214
2019-12-25 
Сосуд глубины $H$ заполнен жидкостью, плотность которой линейно меняется $\rho_{0}$ на поверхности до $\rho$ на дне сосуда. В сосуд погружают два маленьких шарика одинакового объема $V$, связанных тонкой невесомой нерастяжимой нитью длины $l$. Плотность одного шарика $\rho_{1}$, плотность другого - $\rho_{2}$. Через некоторое время шарики устанавливаются так, как показано на рисунке. Найти силу натяжения нити.
Решение:
Силы, действующие на каждый шарик, это сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила Архимеда $| \vec{F} | = \rho_{1}gV$, где $\rho_{x}$ - плотность жидкости на глубине $x$, на которой находится шарик (см. рис.). Поскольку плотность меняется линейно по мере увеличения глубины сосуда на любой глубине $x$ плотность жидкости равна $\rho_{x} = \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H}x$.
Запишем условия равновесия для каждого шарика (в проекциях на ось X):
$m_{1}g + T - F_{1} = \rho_{1}gV + T - \left ( \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{1} \right ) gV = 0$,
$m_{2}g - T - F_{2} = \rho_{2}gV - T - \left ( \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{2} \right ) gV = 0$.
где $x_{1}, x_{2}$ - глубины погружения шариков. Решая эти уравнения совместно, находим
$T = \frac{Vg}{2} \left ( \rho_{2} - \rho_{1} - \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} l \right )$.
Конфигурация, указанная на рисунке возможна при $T \geq 0, x_{1} > 0, x_{2} < H$. Сели представить себе, что шарики не связаны между собой, a $\rho_{0} < \rho_{1} < \rho$ и $\rho_{0} < \rho_{2} < \rho$, то первый шарик установится на глубине, где плотность жидкости равна плотности шарика:
$\rho_{1} = \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{1}$;
аналогично будет вести себя и второй шарик:
$\rho_{2} = \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{2}$.
Расстояние между шариками в этом случае будет равно
$x_{2} - x_{1} = \frac{( \rho_{2} - \rho_{1} )H}{ \rho - \rho_{0} }$.
Если длина нити $l$ больше $x_{2} - x_{1}$, то нить не будет натянута.
Сосуд глубины $H$ заполнен жидкостью, плотность которой линейно меняется $\rho_{0}$ на поверхности до $\rho$ на дне сосуда. В сосуд погружают два маленьких шарика одинакового объема $V$, связанных тонкой невесомой нерастяжимой нитью длины $l$. Плотность одного шарика $\rho_{1}$, плотность другого - $\rho_{2}$. Через некоторое время шарики устанавливаются так, как показано на рисунке. Найти силу натяжения нити.
Решение:
Силы, действующие на каждый шарик, это сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила Архимеда $| \vec{F} | = \rho_{1}gV$, где $\rho_{x}$ - плотность жидкости на глубине $x$, на которой находится шарик (см. рис.). Поскольку плотность меняется линейно по мере увеличения глубины сосуда на любой глубине $x$ плотность жидкости равна $\rho_{x} = \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H}x$.
Запишем условия равновесия для каждого шарика (в проекциях на ось X):
$m_{1}g + T - F_{1} = \rho_{1}gV + T - \left ( \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{1} \right ) gV = 0$,
$m_{2}g - T - F_{2} = \rho_{2}gV - T - \left ( \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{2} \right ) gV = 0$.
где $x_{1}, x_{2}$ - глубины погружения шариков. Решая эти уравнения совместно, находим
$T = \frac{Vg}{2} \left ( \rho_{2} - \rho_{1} - \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} l \right )$.
Конфигурация, указанная на рисунке возможна при $T \geq 0, x_{1} > 0, x_{2} < H$. Сели представить себе, что шарики не связаны между собой, a $\rho_{0} < \rho_{1} < \rho$ и $\rho_{0} < \rho_{2} < \rho$, то первый шарик установится на глубине, где плотность жидкости равна плотности шарика:
$\rho_{1} = \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{1}$;
аналогично будет вести себя и второй шарик:
$\rho_{2} = \rho_{0} + \frac{ \rho - \rho_{0} }{H} x_{2}$.
Расстояние между шариками в этом случае будет равно
$x_{2} - x_{1} = \frac{( \rho_{2} - \rho_{1} )H}{ \rho - \rho_{0} }$.
Если длина нити $l$ больше $x_{2} - x_{1}$, то нить не будет натянута.
